Задача 4 :: Исследовать на экстремум функцию

Функция определена, непрерывна и дифференцируема в правой полуплоскости xy,

что вытекает из условия существования действительных значений . 

Найдём частные производные первого порядка: 

Стационарные точки находим из системы:  

Решим её подстановкой: 

Корень второго уравнения: 

Значение ординаты: 

Исследуемая функция имеет одну cтационарную точку: 

Найдём частные производные второго порядка: 

Понадобится значение выражения
,
вычисленное в стационарной точке. 

Для точки А имеем: 

Т.к. в точке A величина положительна, то в ней функция имеет экстремум. 

Поскольку в точке A величина отрицательна, то здесь -  максимум. 

Проиллюстрируем поведение функции вблизи точки A (см.рисунок): 

Проверка 

Результат выполнения команд minimize 

и maximize 

качественно подтверждает сделанные выводы.