Задача 5 :: Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области .

Функция    определена на всей действительной плоскости xy.

Область D - прямоугольный треугольник, ограниченный прямыми  .

1) Находим стационарные точки внутри области D:

и систему для определения стационарной точки:

Стационарная точка ,

поэтому вычисляем в ней значение функции:

2) Исследуем функцию на границе области, которая представляет из себя прямоугольный треугольник.

Выразим одну переменную через другую:

Подставим значение в функцию

и получим функцию одной переменной:

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения этой функций на отрезке

Находим критические точки:

Критическая точка: - абсцисса вершины параболы   . 

Вычисляем значения функций в критической точке и на концах отрезка [0;4]: 

Из всех полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее. 

Наибольшим значением функции в прямоугольном треугольнике,

ограниченном прямыми  , является: 

Наименьшим значением функции в прямоугольном треугольнике,

ограниченном прямыми  , является: 

Замечание: Легко видеть, что , однако точка  B (4;0) не принадлежит исследуемой области. 

Проверка