Задача 2 :: Определить существует ли предел .

Если предел существует, то найти его, в противном случае доказать, что предел не существует.
 

СПОСОБ 1 

Пусть точка M ( x ; y ) приближается к точке O ( 0 ; 0 ). 

Рассмотрим изменение x и y вдоль прямой y = k x: 

Результат имеет разные значения в зависимости от выбранного k и поэтому функция не имеет предела. 

СПОСОБ 2 

Пусть независимо от того, по какому направлению M приближается O .  

Это направление характеризуется углом φ наклона прямой - направления, по которому M → O.

Поэтому 

Результат имеет разные значения в зависимости от выбранного направления устремления M к O, т.е. угла φ.

Отсюда следует, что функция предела не имеет. 

Эскиз поверхности, задаваемой функций, качественно подтверждает найденное решение.