Задача 11 :: Найти условные экстремумы функции

Составим функцию Лагранжа

В соответствии с необходимыми условиями экстремума имеем систему уравнений для определения стационарных точек:

Откуда 

Значит   - стационарная точка.

Тогда

Исследуем точку  на условный экстремум, используя достаточное условие экстремума.

Найдем вторые частные производные от функции Лагранжа в точке :

Запишем дифференциал второго порядка в точке M:

Используя уравнение связи , имеем  

Таким образом, точка   - точка условного минимума исходной функции; значение функции в точке минимума:

Графиком данной функции является эллиптический параболоид, представляющий собой поверхность, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы. 

Локальный минимум достигается в вершине параболы, являющейся линией пересечения плоскости и параболоида .