Задача 12 :: Найти наибольшее и наименьшее значения функции  

в замкнутой области .

Сделать рисунок области D.

Область D - круг, ограниченный окружностью  .

1) Находим стационарные точки внутри области D.

Имеем и систему для определения стационарной точки:

Стационарная точка ,

поэтому вычисляем в ней значение функции:

2) Исследуем функцию на границе области, которая представляет из себя окружность

 .

Выразим одну переменную через другую:

Подставим значение  в функцию

 и получим два вида функции одной переменной:

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения этих функций

 на отрезке

Находим критические точки:

Критические точки:  

Вычисляем значения функций в критических точках и на концах отрезка [-1;1]: 

Из всех полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее. 

Наименьшим значением функции в круге является: 

Наибольшим значением функции в круге является: 

Проверка 

Наименьшее и наибольшие значения: 

Точки наибольших и наименьших значений: 

Оказалось, что указанные значения функция принимает не в стационарной точке,

а на границе области - на линии пересечения цилиндрической поверхности и графика функции .