Задача 16 :: Исследовать на экстремум функцию .
 

Найдём частные производные первого порядка: 

Стационарные точки находим из системы:  

Решим её подстановкой: 

Корни второго уравнения: 

Значения абсцисс: 

Исследуемая функция имеет две cтационарные точки: 

Найдём частные производные второго порядка: 

Понадобится значение выражения  , вычисленное в стационарных точках. 

Для точки А имеем: 

Т.к. величина отрицательна, то функция в точке A не имеет экстремального значения. 

Для точки B имеем: 

Т.к. величина положительна, то в точке B функция имеет экстремум. 

А поскольку , то здесь наблюдается минимум. 

Проиллюстрируем поведение функции вблизи обеих точек: 

Проверка 

Точка А. Результат выполнения команд minimize 

и maximize 

Точка B. Результат выполнения команд minimize 

и maximize 

Результаты качественно подтверждают сделанные выводы.