C4 Окружность радиуса  `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))) вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 2. Найдите MN. 

РЕШЕНИЕ 

Разумно применить метод координат. 

Центры O и A вписанных в прямой угол окружностей принадлежат его биссектрисе AO.  

Пусть r - радиус первой окружности, причем  

Для радиуса второй окружности верно (см. ΔABO): 

`and`(AM = AN, `and`(AN = R, `and`(R = `+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))), `and`(`+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))) = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2))), `&+-`(`+`(`/`(`*`(2), `*`(sqrt(2)))))), `+`(... 

Составим систему из уравнений окружностей в прямоугольной системе координат, оси которой содержат стороны прямого угла:
 

Вычтем из второго уравнения первое: 




`+`(x, y) = `*`(`+`(R, r), `/`(1, 2))
Исходная система равносильна следующей:


Координаты точек пересечения окружностей:


Искомое расстояние: 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `*`(`^`(23, `/`(1, 2)))  

MEGEBank 

Для второго случая: 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `*`(`^`(7, `/`(1, 2)))  

MEGEBank 

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 

ОТВЕТ 

sqrt(23); 1; sqrt(7)