qu.1.topic=Section 2.2: Limits@

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qu.1.1.comment=<p class="noindent">Divide top and bottom by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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to get
</p>
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</p>
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If the limit does nor exist type DNE.</p>@
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to get
</p>
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</p>
<p class="noindent">
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 </math><1>
If the limit does nor exist type DNE.</p>@
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to get

</p>
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        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
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          <mrow>
           <mn>${m}</mn>
          </mrow>
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          <mrow>
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       </mfrac>
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     </mfrac>
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      <mrow>
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    <mo>,</mo>
    <mtext>&nbsp;as&nbsp;</mtext>
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    <mo>,</mo>
    <mtext>&nbsp;as&nbsp;</mtext>
    <mi>x</mi>
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    <mi>&#8734;</mi>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
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   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
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    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.3.editing=useHTML@
qu.1.3.solution=@
qu.1.3.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$m=int($n-1);
$a=int(rint(5)+2);
$b=int($a+1);
$c=int(rint(6)+2);
$d=int($b+1);
$ans="DNE";@
qu.1.3.uid=7cc00aab-ae5e-4d45-8bdc-30c4e893d3a9@
qu.1.3.question=<p class="noindent">Evaluate
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
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     <mrow>
      <mi>x</mi>
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     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
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   <mrow>
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     </mrow>
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      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${d}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>
If the limit does nor exist type DNE.</p>@
qu.1.3.blank.1=%24%7bans%7d@
qu.1.3.grader.1=formula@
qu.1.3.extra=@

qu.1.4.mode=Blanks@
qu.1.4.name=2.2.4@
qu.1.4.comment=<p class="noindent">First we write the expression as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>${a}</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
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    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${d2}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
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    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
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 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
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    </mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
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      <mo>+</mo>
      <mn>${d}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> ${comment} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math> so
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mn>${ans2}</mn>
  <mn>${ans1}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.4.editing=useHTML@
qu.1.4.solution=@
qu.1.4.algorithm=$type=rint(2);
$a=int(rint(3)+2);
$c=int(rint(4)+1);
$d=int(switch($type,$c,$c+1+rint(3)));
$d2=int($d*$d);
$b=int($a*$d2);
$ans=switch($type,$a*($c+$d),"DNE");
$ans1=switch($type,$a*($c+$d),"does not exist");
$ans2=switch($type,"=","");
$comment=switch($type,"Cancelling the term in the denominator non-zero except at ","The numerator is zero at ");@
qu.1.4.uid=4cdaca40-8cd4-42ca-900d-75fed07b3cc3@
qu.1.4.question=<p class="noindent">Evaluate
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>
If the limit does nor exist type DNE.</p>@
qu.1.4.blank.1=%24%7bans%7d@
qu.1.4.grader.1=formula@
qu.1.4.extra=@

qu.2.topic=Section 9.1: Geometric Series@

qu.2.1.mode=Multipart@
qu.2.1.name=9.1.1@
qu.2.1.comment=@
qu.2.1.editing=useHTML@
qu.2.1.solution=@
qu.2.1.algorithm=$n=int(rint(3)+2);
$n2=int(2*$n);
$n3=int(3*$n);@
qu.2.1.uid=ee0ef5ce-c6b2-4128-934d-39f07af2f132@
qu.2.1.question=@
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qu.2.1.numbering=alpha@
qu.2.1.part.1.extra=@
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qu.2.1.part.1.question=<p class="noindent">For which values of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
does the series
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n3}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">converge?
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
 </math><1>.</p>@
qu.2.1.part.1.blank.1=1@
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qu.2.1.part.1.mode=Blanks@
qu.2.1.part.1.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>r</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
then the given series becomes
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math>
</p>@
qu.2.1.part.2.editing=useHTML@
qu.2.1.part.2.question=<p class="noindent">Find the sum of this series.</p>@
qu.2.1.part.2.answer=
1/(1+x^(${n}))@
qu.2.1.part.2.mode=Formula@
qu.2.1.part.2.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>r</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
then the given series becomes

</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
to
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.2.2.mode=Blanks@
qu.2.2.name=9.1.5@
qu.2.2.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>
if <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfenced separators="" open="|" close="|">
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfenced>
 </math> is ${comment1}
than 1, we have
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mfenced separators="" open="(" close=")">
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfenced>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
${comment2}
</p>@
qu.2.2.editing=useHTML@
qu.2.2.solution=@
qu.2.2.algorithm=$type=rint(2);
$a=int(rint(5)+2);
$b=int(switch($type,$a-1,$a+1+rint(5)));
$comment1=switch($type,"greater","less");
$comment2=switch($type,"does not exist.","is 0.");
$ans=switch($type,"DNE",0);@
qu.2.2.uid=0e295809-a9b7-4753-b787-1e47019eb74b@
qu.2.2.question=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>
If the limit does not exist enter DNE.</p>@
qu.2.2.blank.1=%24%7bans%7d@
qu.2.2.grader.1=formula@
qu.2.2.extra=@

qu.2.3.mode=Multipart@
qu.2.3.name=9.1.2@
qu.2.3.comment=@
qu.2.3.editing=useHTML@
qu.2.3.solution=@
qu.2.3.algorithm=$a=int(rint(3)+2);
$b=int(rint(3)+2);
$b1=int($b-1);
$a2=int($a*$a);
$a3=int($a*$a*$a);
$R=1/$a;@
qu.2.3.uid=68ea7335-674c-4371-896d-4afdff1f8072@
qu.2.3.question=@
qu.2.3.weighting=1,1@
qu.2.3.numbering=alpha@
qu.2.3.part.1.extra=@
qu.2.3.part.1.editing=useHTML@
qu.2.3.part.1.question=<p class="noindent">For which values of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
does the series
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a3}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">converge?
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
 </math><1>.</p>@
qu.2.3.part.1.blank.1=%24%7bR%7d%3f0.01@
qu.2.3.part.1.grader.1=formula@
qu.2.3.part.1.mode=Blanks@
qu.2.3.part.1.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>r</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
then the given series becomes
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math>
</p>@
qu.2.3.part.2.editing=useHTML@
qu.2.3.part.2.question=<p class="noindent">Find the sum of this series.</p>@
qu.2.3.part.2.answer=
${b1}+1/(1-${a}*x)@
qu.2.3.part.2.mode=Formula@
qu.2.3.part.2.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>r</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
then the given series becomes
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
to
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>${b1}</mn>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.2.4.mode=Multipart@
qu.2.4.name=9.1.3@
qu.2.4.comment=@
qu.2.4.editing=useHTML@
qu.2.4.solution=@
qu.2.4.algorithm=$n=int(rint(3)+2);
$n1=int($n+1);
$n2=int($n+2);@
qu.2.4.uid=6c5b8b4f-71f3-459e-a7cb-884b7bf4564f@
qu.2.4.question=@
qu.2.4.weighting=1,1@
qu.2.4.numbering=alpha@
qu.2.4.part.1.extra=@
qu.2.4.part.1.editing=useHTML@
qu.2.4.part.1.question=<p class="noindent">For which values of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
does the series
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">converge?
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
 </math><1>.</p>@
qu.2.4.part.1.blank.1=1@
qu.2.4.part.1.grader.1=formula@
qu.2.4.part.1.mode=Blanks@
qu.2.4.part.1.comment=<p class="noindent">Write the given series as
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#8943;</mo>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math>
</p>@
qu.2.4.part.2.editing=useHTML@
qu.2.4.part.2.question=<p class="noindent">Find the sum of this series.</p>@
qu.2.4.part.2.answer=
x^(${n})/(1-x)@
qu.2.4.part.2.mode=Formula@
qu.2.4.part.2.comment=<p class="noindent">Write the given series as
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#8943;</mo>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">which converges, provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>r</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
that is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>,</mo>
 </math>
to
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.2.5.mode=Multiple Selection@
qu.2.5.name=9.1.4@
qu.2.5.comment=<p class="noindent">The convergent series are:-
</p>
<ul class="itemize1">
 <li class="itemize">
  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
   <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
    <mtr>
     <mtd>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>8</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>27</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>64</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mo>&hellip;</mo>
     </mtd>
     <mtd>
      <mo>=</mo>
     </mtd>
     <mtd>
      <munderover accentunder="false" accent="false">
       <mrow>
        <mo largeop="true">&#8721;</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&#8734;</mi>
       </mrow>
      </munderover>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>n</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mtd>
     <mtd>
      <mspace width="1em"/>
     </mtd>
    </mtr>
    <mtr>
     <mtd/>
     <mtd>
      <mo>&#8804;</mo>
     </mtd>
     <mtd>
      <munderover accentunder="false" accent="false">
       <mrow>
        <mo largeop="true">&#8721;</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&#8734;</mi>
       </mrow>
      </munderover>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>n</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mtd>
     <mtd>
      <mspace width="1em"/>
     </mtd>
    </mtr>
    <mtr>
     <mtd/>
     <mtd/>
     <mtd/>
     <mtd>
      <mspace width="1em"/>
     </mtd>
    </mtr>
   </mtable>
  </math>
  <p class="nopar"/>
 </li>
 <li class="itemize">
  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
   <mn>1</mn>
   <mo>+</mo>
   <msup>
    <mrow>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mo>&minus;</mo>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <msup>
    <mrow>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mo>&minus;</mo>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <msup>
    <mrow>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mo>&minus;</mo>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mo>&hellip;</mo>
   <mo>=</mo>
   <mn>1</mn>
   <mo>+</mo>
   <mi>r</mi>
   <mo>+</mo>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>r</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mo>&hellip;</mo>
  </math>
  <p class="noindent">with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&lt;</mo>
    <mn>1.</mn>
   </math>
  </p>
 </li>
</ul>@
qu.2.5.editing=useHTML@
qu.2.5.solution=@
qu.2.5.algorithm=$a=int(rint(3)+2);@
qu.2.5.uid=b30a305b-a1be-4961-88bc-8a38841e5be9@
qu.2.5.question=<p class="noindent">Select <span class="cmbx-12">all</span> series which converge. </p>@
qu.2.5.answer=3 6 @
qu.2.5.choice.1=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>4</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.choice.2=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>20</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>30</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>40</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.choice.3=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>8</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>27</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>64</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.choice.4=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.choice.5=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.choice.6=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&hellip;</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.fixed=@

qu.3.topic=Section 9.2:Convergence of sequences and series@

qu.3.1.mode=Multipart@
qu.3.1.name=9.2.5@
qu.3.1.comment=@
qu.3.1.editing=useHTML@
qu.3.1.solution=@
qu.3.1.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int($a+1);
$c=int($a)+1;
$d=int(rint(4)+1);
$ansb=$a/$c;@
qu.3.1.uid=5e44d48d-5a40-41bd-a130-aec92857589d@
qu.3.1.question=<p class="noindent">Find the limits of the following sequences as <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8594;</mo>
  <mi>&#8734;</mi>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.1.weighting=1,1@
qu.3.1.numbering=alpha@
qu.3.1.part.1.extra=@
qu.3.1.part.1.editing=useHTML@
qu.3.1.part.1.question=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math><1></p>@
qu.3.1.part.1.blank.1=%24%7ba%7d%3f0.001@
qu.3.1.part.1.grader.1=formula@
qu.3.1.part.1.mode=Blanks@
qu.3.1.part.1.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>
if <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>, we
have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mo>&minus;</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo>&minus;</mo>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>,
so <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mo>&minus;</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>0</mn>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.1.part.2.extra=@
qu.3.1.part.2.editing=useHTML@
qu.3.1.part.2.question=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${d}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math><1></p>@
qu.3.1.part.2.blank.1=%24%7bansb%7d%3f0.001@
qu.3.1.part.2.grader.1=formula@
qu.3.1.part.2.mode=Blanks@
qu.3.1.part.2.comment=<p class="noindent">As <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math> increases, the
term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <mi>n</mi>
 </math> is much
larger than ${b} and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${c}</mn>
  <mi>n</mi>
 </math>
is much larger than ${d}. Thus dividing the numerator and denominator by
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math> and using the
fact that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> lim</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mi>n</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>,
we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo>lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${d}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8725;</mo>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${d}</mn>
      <mo>&#8725;</mo>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.3.2.mode=Blanks@
qu.3.2.name=9.2.6@
qu.3.2.comment=<p class="noindent">The series can be written as
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <munderover accentunder="false" accent="false">
  <mrow>
   <mo largeop="true">&#8721;</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>=</mo>
   <mn>1</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </munderover>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <munderover accentunder="false" accent="false">
  <mrow>
   <mo largeop="true"> &#8721;</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>=</mo>
   <mn>1</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </munderover>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
   <mo>+</mo>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfenced separators="" open="(" close=")">
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfenced>
  <mo>&minus;</mo>
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> will
also converge.

</p>
<p class="noindent">But this is the harmonic series, which diverges, so the series
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> must
diverges. </p>@
qu.3.2.editing=useHTML@
qu.3.2.solution=@
qu.3.2.algorithm=$a=int(rint(6)+2);@
qu.3.2.uid=39b91491-c7b1-472f-844b-5fba0c8e2134@
qu.3.2.question=<p class="noindent">Does the follow series converge or diverge?
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math><1></p>@
qu.3.2.blank.1=Diverges, Converges@
qu.3.2.grader.1=menu@
qu.3.2.extra=@

qu.3.3.mode=Multiple Choice@
qu.3.3.name=9.2.1@
qu.3.3.comment=<p class="noindent">Set <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>m</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
 </math>
and compare with the series
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <munderover accentunder="false" accent="false">
  <mrow>
   <mo largeop="true">&#8721;</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>i</mi>
   <mo>=</mo>
   <mn>1</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </munderover>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>m</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>p</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">which converges provided <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>p</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>q</mi>
  <mo>&gt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>.
The correct answer is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
  <mo>&lt;</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math>
</p>@
qu.3.3.editing=useHTML@
qu.3.3.solution=@
qu.3.3.algorithm=$a=switch(rint(5),"1","a","e","2","100");@
qu.3.3.uid=0eb1d747-a708-458b-8e2e-346e52d10143@
qu.3.3.question=<p class="noindent">For which values of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
 </math>
does the series
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <munderover accentunder="false" accent="false">
  <mrow>
   <mo largeop="true">&#8721;</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>i</mi>
   <mo>=</mo>
   <mn>1</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </munderover>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>n</mi>
     <mo>+</mo>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>q</mi>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">converge?</p>@
qu.3.3.answer=3@
qu.3.3.choice.1=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
</p>@
qu.3.3.choice.2=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>q</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
</p>@
qu.3.3.choice.3=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
  <mo>&lt;</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
</p>@
qu.3.3.choice.4=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
  <mo>&#8804;</mo>
  <mn>2</mn>
 </math>
</p>@
qu.3.3.fixed=@

qu.3.4.mode=Multipart@
qu.3.4.name=9.2.2@
qu.3.4.comment=@
qu.3.4.editing=useHTML@
qu.3.4.solution=@
qu.3.4.algorithm=$a=int(rint(3)+1);
$b=int($a+1);
$apb=int($a+$b);
$m=int(2+rint(3));
$ab=int($a*$b);
$C=int($m^2+$a*$m+$b);
$correct="True";
$incorrect="False";@
qu.3.4.uid=12cb7e8b-b453-4359-bc49-b69c130e0a88@
qu.3.4.question=@
qu.3.4.weighting=1,1@
qu.3.4.numbering=alpha@
qu.3.4.part.1.editing=useHTML@
qu.3.4.part.1.question=<p class="noindent">Find the <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo> &#8747;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mspace width="0.25em"/>
  <mi>d</mi>
  <mi>x</mi>
 </math>
</p>@
qu.3.4.part.1.answer=
ln(x^2+${a}x+${b})@
qu.3.4.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.3.4.part.1.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>u</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
then
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8747;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mspace width="0.25em"/>
  <mi>d</mi>
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo> &#8747;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mi>C</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.4.part.2.extra=@
qu.3.4.part.2.editing=useHTML@
qu.3.4.part.2.question=<p class="noindent">The series <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
converges?
<1></p>@
qu.3.4.part.2.blank.1=%24%7bcorrect%7d, %24%7bincorrect%7d@
qu.3.4.part.2.grader.1=menu@
qu.3.4.part.2.mode=Blanks@
qu.3.4.part.2.comment=<p class="noindent">We use the integral test and calculate the corresponding improper integral,
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8747;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mspace width="0.25em"/>
  <mi>d</mi>
  <mi>x</mi>
 </math>:
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msubsup>
     <mrow>
      <mo largeop="true">&#8747;</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&#8734;</mi>
     </mrow>
    </msubsup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${b}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mspace width="0.25em"/>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>R</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mi>&#8734;</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <msubsup>
     <mrow>
      <mo largeop="true">&#8747;</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>R</mi>
     </mrow>
    </msubsup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${b}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mspace width="0.25em"/>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>R</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mi>&#8734;</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> ln</mo>
    <mo>&mid;</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mo>&mid;</mo>
    <msubsup>
     <mrow>
      <mstyle minsize="3.4ex" maxsize="3.6ex">
       <mfenced separators="" open="|" close="">
        <mrow/>
       </mfenced>
      </mstyle>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>R</mi>
     </mrow>
    </msubsup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>R</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mi>&#8734;</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>R</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>R</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
      <mo>&minus;</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> ln</mo>
      <mn>${C}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Since the limit does not exist (it is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>&#8734;</mi>
 </math>),
the integral diverges, so the series
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
diverges.
</p>@

qu.3.5.mode=Blanks@
qu.3.5.name=9.2.3@
qu.3.5.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>s</mi>
  <mi>u</mi>
  <msubsup>
   <mrow>
    <mi>m</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>,
</p>
<p class="noindent">This is the sum of two geometric series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${bma}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">so

</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${bma}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${ansd}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.5.editing=useHTML@
qu.3.5.solution=@
qu.3.5.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$b=int($a+1+rint(4));
$c=int($b+1);
$bma=int($b-$a);
$ans=($b-$b*$b+$a*$b*$c-$b*$b*$c)/($a-$b)/($b-1);
$ansd=decimal(4,$ans);@
qu.3.5.uid=a558ee51-e527-4d54-972c-1bf850dcbaf2@
qu.3.5.question=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@
qu.3.5.blank.1=%24%7bans%7d%3f0.005@
qu.3.5.grader.1=formula@
qu.3.5.extra=@

qu.3.6.mode=Blanks@
qu.3.6.name=9.2.4@
qu.3.6.comment=<p class="noindent">Using a right-hand sum, we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>4</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8943;</mo>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&lt;</mo>
 <msubsup>
  <mrow>
   <mo largeop="true"> &#8747;</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>1</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
  </mrow>
 </msubsup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> If a computer could add a million terms in one second, then it could add
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>60</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mtext>sec</mtext>
   </mrow>
   <mrow>
    <mtext>min</mtext>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>60</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mtext>min</mtext>
   </mrow>
   <mrow>
    <mtext>hour</mtext>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>24</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mtext>hour</mtext>
   </mrow>
   <mrow>
    <mtext>day</mtext>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>365</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mtext>days</mtext>
   </mrow>
   <mrow>
    <mtext>year</mtext>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>${n}</mn>
 <mspace/>
 <mtext>million</mtext>
 <mspace/>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mtext>terms</mtext>
   </mrow>
   <mrow>
    <mtext>sec</mtext>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">terms per year. Thus,
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>1</mn>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&#8943;</mo>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&lt;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>60</mn>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mn>60</mn>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mn>24</mn>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mn>365</mn>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mn>${n}</mn>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mn>1</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mn>0</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>6</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mn>${Vd}</mn>
 <mo>&lt;</mo>
 <mn>${lim}</mn>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> So the sum after one year is about <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${ans}</mn>
 </math>.</p>@
qu.3.6.editing=useHTML@
qu.3.6.solution=@
qu.3.6.algorithm=$n=int(1+rint(4));
$V=1+ln(60*60*24*365*$n*10^6);
$Vd=decimal(4,$V);
$lim=int($Vd+1);
$ans=int($Vd);@
qu.3.6.uid=36e9c7de-dd45-4075-82d5-772d3583dd5d@
qu.3.6.question=<p class="noindent">Although the harmonic series does not converge, the partial sums grow
very, very slowly. Take a right-hand sum approximating the integral of
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> on the
interval <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mrow>
   <mo stretchy="false">[</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>,</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">]</mo>
  </mrow>
 </math>,
with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>&Delta;</mi>
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
to show that
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>4</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8943;</mo>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&lt;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> If a computer could add ${n} million terms of the harmonic series each second, estimate the sum after
one year.
<1>. </p>@
qu.3.6.blank.1=%24%7bans%7d%3f1@
qu.3.6.grader.1=formula@
qu.3.6.extra=@

qu.4.topic=Section 9.3: Tests for convergence@

qu.4.1.mode=Blanks@
qu.4.1.name=9.3.2@
qu.4.1.comment=<p class="noindent">The first few terms of the series may be written
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>1</mn>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${a}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${a2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${a3}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8943;</mo>
 <mo>;</mo>
</math>
<p class="nopar"> this is a geometric series with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> , the geometric
series converges to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>S</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">In this case, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&mid;</mo>
 </math>
is ${comment1} than 1 and so the series ${comment2}.
</p>@
qu.4.1.editing=useHTML@
qu.4.1.solution=@
qu.4.1.algorithm=$type=rint(2);
$a=int(switch($type,-(2+rint(3)),(2+rint(3))));
$a2=int(2*$a);
$a3=int(3*$a);
$comment1=switch($type,"less","greater");
$comment2=switch($type,"converges.","diverges");
$correct=switch($type,"Converges","Diverges");
$incorrect=switch($type,"Diverges","Converges");@
qu.4.1.uid=c5459010-912e-4d47-9076-701d484e648c@
qu.4.1.question=<p class="noindent">Determine whether the series given below converges or diverges
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math><1></p>@
qu.4.1.blank.1=%24%7bcorrect%7d, %24%7bincorrect%7d@
qu.4.1.grader.1=menu@
qu.4.1.extra=@

qu.4.2.mode=Blanks@
qu.4.2.name=9.3.1@
qu.4.2.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>. Since
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&gt;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>, we
have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
so
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>0</mn>
 <mo>&lt;</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mi>a</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mo>&lt;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mfenced separators="" open="(" close=")">
    <mrow>
     <mstyle displaystyle="true">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mstyle>
    </mrow>
   </mfenced>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Thus we can compare the series <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
with the geometric series <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">This geometric series converges since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&mid;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>&mid;</mo>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>,
so the comparison test tells us that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
also converges.
</p>@
qu.4.2.editing=useHTML@
qu.4.2.solution=@
qu.4.2.algorithm=$a=int(rint(5)+2);@
qu.4.2.uid=fc39dacc-c632-467d-bdd9-cb525a168f07@
qu.4.2.question=<p class="noindent">Use the comparison test to determine whether the series given below converges or diverges
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math><1></p>@
qu.4.2.blank.1=Converges, Diverges, Neither@
qu.4.2.grader.1=menu@
qu.4.2.extra=@

qu.4.3.mode=Blanks@
qu.4.3.name=9.3.3@
qu.4.3.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mi>!</mi>
 </math>,
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mi>!</mi>
 </math>.
Thus
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&mid;</mo>
       <msub>
        <mrow>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </msub>
       <mo>&mid;</mo>
      </mrow>
      <mrow>
       <mo>&mid;</mo>
       <msub>
        <mrow>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
        </mrow>
       </msub>
       <mo>&mid;</mo>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>n</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
         <mi>!</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>n</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
         <mi>!</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>n</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mi>!</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>n</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mi>!</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>n</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mi>!</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
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         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>n</mi>
         <mo>+</mo>
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        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
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        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mi>!</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
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   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
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  <mtr>
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   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
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       </mrow>
       <mrow>
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       </mrow>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
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    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
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  <mtr>
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   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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     <mrow>
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    </msub>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <msub>
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    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
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    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0.</mn>
</math>
<p class="nopar"> Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>L</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>, the ratio
test tells us that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </msubsup>
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  </mfrac>
 </math>
converges. </p>@
qu.4.3.editing=useHTML@
qu.4.3.solution=@
qu.4.3.algorithm=$a=int(rint(6)+2);@
qu.4.3.uid=efd0e1d5-c475-41b2-b8dd-3df070e87aa8@
qu.4.3.question=<p class="noindent">Determine whether the series given below converges or diverges.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </msubsup>
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    </mrow>
    <mi>!</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math><1></p>@
qu.4.3.blank.1=Converges, Diverges@
qu.4.3.grader.1=menu@
qu.4.3.extra=@

qu.4.4.mode=Blanks@
qu.4.4.name=9.3.4@
qu.4.4.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>n</mi>
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    </msup>
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   <mrow>
    <msup>
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    </msup>
    <mo>+</mo>
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  </mfrac>
 </math>,
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
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 </math>
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
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    <mi>a</mi>
   </mrow>
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  <mfrac>
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    <msup>
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     </mrow>
    </msup>
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   <mrow>
    <msup>
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      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
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       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
Thus
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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    <msub>
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    <msub>
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     <mrow>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mfrac>
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      </msup>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
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        </mrow>
       </mrow>
       <mrow>
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       </mrow>
      </msup>
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    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
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       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
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       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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    <msup>
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     <mrow>
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    </msup>
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    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
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        <mi>n</mi>
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     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>,</mo>
</math>
<p class="nopar"> so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>L</mi>
 <mo>=</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>L</mi>
 </math> is ${comment1} than 1, the ratio
test tells us that the series <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo> &#8721;</mo>
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    <mo>=</mo>
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   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
${comment2}.</p>@
qu.4.4.editing=useHTML@
qu.4.4.solution=@
qu.4.4.algorithm=$type=rint(6);
$a=switch($type,"0.1","0.5","0.9","2","4","10");
$comment1=switch($type,"less","less","less","greater","greater","greater");
$comment2=switch($type,"converges","converges","converges","diverges","diverges","diverges");
$correct=switch($type,"Converges","Converges","Converges","Diverges","Diverges","Diverges");
$incorrect=switch($type,"Diverges","Diverges","Diverges","Converges","Converges","Converges");@
qu.4.4.uid=e461d404-933e-4dca-bdb1-c4d59d853cbe@
qu.4.4.question=<p class="noindent">Determine whether the following series converges or diverges.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math><1></p>@
qu.4.4.blank.1=%24%7bcorrect%7d, %24%7bincorrect%7d@
qu.4.4.grader.1=menu@
qu.4.4.extra=@

qu.5.topic=Section 9.4: Power series@

qu.5.1.mode=Blanks@
qu.5.1.name=9.4.2@
qu.5.1.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> gives
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. Using the ratio
test, with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msub>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
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       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${m}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mfenced separators="" open="(" close=")">
    <mrow>
     <mstyle displaystyle="true">
      <mfrac>
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       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mstyle>
    </mrow>
   </mfenced>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> We have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
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  </mrow>
  <mrow>
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 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
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    <msub>
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     </mrow>
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     </mrow>
    </msub>
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   <mrow>
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    <msub>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Thus the radius of convergence is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>.
</p>@
qu.5.1.editing=useHTML@
qu.5.1.solution=@
qu.5.1.algorithm=$m=int(rint(5)+2);@
qu.5.1.uid=0c588d58-aada-463f-a0e6-9c28954b8e21@
qu.5.1.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
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   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.5.1.blank.1=1%3f0.01@
qu.5.1.grader.1=formula@
qu.5.1.extra=@

qu.5.2.mode=Blanks@
qu.5.2.name=9.4.3@
qu.5.2.comment=<p class="noindent">This series may be written as

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>1</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a2}</mn>
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  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mo>&#8943;</mo>
</math>
<p class="nopar"> so <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
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    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. Using the
ratio test, with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
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   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
we have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
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  </mrow>
  <mrow>
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  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
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      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
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  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
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      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Thus the radius of convergence is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.5.2.editing=useHTML@
qu.5.2.solution=@
qu.5.2.algorithm=$type=rint(8);
$a=switch($type,"0.1","0.5","0.8","2","4","5","10","20");
$a2=switch($type,"0.01","0.25","0.64","4","16","25","100","400");
$R=switch($type,10,2,1.25,0.5,0.25,0.2,0.1,0.05);@
qu.5.2.uid=47a5dfdd-1b8d-4e15-9fd1-e34c87ec6453@
qu.5.2.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
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     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.5.2.blank.1=%24%7bR%7d%3f0.01@
qu.5.2.grader.1=formula@
qu.5.2.extra=@

qu.5.3.mode=Blanks@
qu.5.3.name=9.4.4@
qu.5.3.comment=<p class="noindent">Here the coefficient of the <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
    <mi>h</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
term is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
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    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
Now we have

</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mfenced separators="" open="|" close="|">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <msub>
       <mrow>
        <mi>a</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </mrow>
     <mrow>
      <msub>
       <mrow>
        <mi>a</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msub>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mfenced separators="" open="|" close="|">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mrow>
          <mi>n</mi>
          <mo>+</mo>
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         </mrow>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mrow>
       <mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mrow>
          <mn>${a}</mn>
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          <mo>+</mo>
          <mn>${b1}</mn>
         </mrow>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mrow>
          <mn>${a}</mn>
          <mi>n</mi>
          <mo>+</mo>
          <mn>${b}</mn>
         </mrow>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b1}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>&#8594;</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mtext>&nbsp;as&nbsp;</mtext>
 <mi>n</mi>
 <mo>&#8594;</mo>
 <mi>&#8734;</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Thus, by the ratio test, the radius of convergence is
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>.</p>@
qu.5.3.editing=useHTML@
qu.5.3.solution=@
qu.5.3.algorithm=$a=int(rint(3)+2);
$b=int(rint(4)+1);
$b1=int($b+2);
$c1=int($a+$b);
$c2=int(2*$a+$b);
$c3=int(3*$a+$b);
$c4=int(4*$a+$b);
$c5=int(5*$a+$b);@
qu.5.3.uid=dd841fe7-3050-43a9-a049-65224417e112@
qu.5.3.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c1}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c2}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c3}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>4</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>4</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c4}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>5</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>5</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c5}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8943;</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.5.3.blank.1=1@
qu.5.3.grader.1=formula@
qu.5.3.extra=@

qu.5.4.mode=Blanks@
qu.5.4.name=9.4.1@
qu.5.4.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>,
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">Using the ratio test, we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8725;</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8725;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>,</mo>
</math>
<p class="nopar"> so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo>lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>1</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Thus the radius of convergence is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.5.4.editing=useHTML@
qu.5.4.solution=@
qu.5.4.algorithm=$type=rint(8);
$a=switch($type,"0.1","0.5","0.8","2","4","5","10","20");
$R=switch($type,10,2,1.25,0.5,0.25,0.2,0.1,0.05);@
qu.5.4.uid=c342c93f-32b8-4096-b4f3-c5cb548235b4@
qu.5.4.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
        <mo>&minus;</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.5.4.blank.1=%24%7bR%7d%3f0.01@
qu.5.4.grader.1=formula@
qu.5.4.extra=@

qu.6.topic=Chapter 9: Review@

qu.6.1.mode=Blanks@
qu.6.1.name=9.R.3@
qu.6.1.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mtext>Present&nbsp;value&nbsp;of&nbsp;first&nbsp;coupon&nbsp;</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>50</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${r1}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mtext>Present&nbsp;value&nbsp;of&nbsp;second&nbsp;coupon&nbsp;</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>50</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>,</mo>
    <mi>e</mi>
    <mi>t</mi>
    <mi>c</mi>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mtext>&nbsp;Total&nbsp;present&nbsp;value</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <munder>
     <mrow>
      <munder accent="true">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>50</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>50</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mrow>
               <mn>${r1}</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false">)</mo>
             </mrow>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>2</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#8943;</mo>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>50</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mrow>
               <mn>${r1}</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false">)</mo>
             </mrow>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>10</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
       <mo>&#65080;</mo>
      </munder>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>c</mi>
      <mi>o</mi>
      <mi>u</mi>
      <mi>p</mi>
      <mi>o</mi>
      <mi>n</mi>
      <mi>s</mi>
     </mrow>
    </munder>
    <mo>+</mo>
    <munder>
     <mrow>
      <munder accent="true">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>1000</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mrow>
               <mn>${r1}</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false">)</mo>
             </mrow>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>10</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
       <mo>&#65080;</mo>
      </munder>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>p</mi>
      <mi>r</mi>
      <mi>i</mi>
      <mi>n</mi>
      <mi>c</mi>
      <mi>i</mi>
      <mi>p</mi>
      <mi>a</mi>
      <mi>l</mi>
     </mrow>
    </munder>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>50</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${r1}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${r1}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mo>&#8943;</mo>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mn>${r1}</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>9</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mrow>
    </mfenced>
    <mo>+</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>1000</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>10</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>50</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${r1}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mo>&minus;</mo>
           <mn>10</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mrow>
    </mfenced>
    <mo>+</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>1000</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${r1}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>10</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${S1}</mn>
    <mo>+</mo>
    <mn>${S2}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>   \\$<mn>${ans}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.1.editing=useHTML@
qu.6.1.solution=@
qu.6.1.algorithm=$R=rint(6)/2+2.5;
$r=$R/100;
$r1=1+$r;
$S1=decimal(3,50/$r1*(1-$r1^(-10))/(1-1/$r1));
$S2=decimal(3,1000/$r1^10);
$ans=decimal(2,$S1+$S2);@
qu.6.1.uid=a01b100d-4ed2-479d-8f13-811a19fe66d4@
qu.6.1.question=<p class="noindent">What is the present value of a \\$1000 bond which pays \\$50 a year for 10 years, starting one year from
now? Assume the interest rate is ${R}% per year, compounded annually.
</p>
<p class="noindent">Present value=\\$<1></p>@
qu.6.1.blank.1=%24%7bans%7d%3f0.05@
qu.6.1.grader.1=formula@
qu.6.1.extra=@

qu.6.2.mode=Blanks@
qu.6.2.name=9.R.1@
qu.6.2.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> gives
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. Using the ratio
test with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo>lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Thus the radius of convergence is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.6.2.editing=useHTML@
qu.6.2.solution=@
qu.6.2.algorithm=$type=rint(8);
$a=switch($type,"0.1","0.5","0.8","2","4","5","10","20");
$a2=switch($type,"0.01","0.25","0.64","4","16","25","100","400");
$R=switch($type,10,2,1.25,0.5,0.25,0.2,0.1,0.05);@
qu.6.2.uid=ae67272b-0605-4a51-a133-f2ad23d8dacf@
qu.6.2.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.6.2.blank.1=%24%7bR%7d%3f0.001@
qu.6.2.grader.1=formula@
qu.6.2.extra=@

qu.6.3.mode=Blanks@
qu.6.3.name=9.R.2@
qu.6.3.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. Then
replacing <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
 </math>
by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>C</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
Using the ratio test, we have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>C</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mrow>
          <mi>n</mi>
          <mo>+</mo>
          <mn>1</mn>
         </mrow>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
dominates <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
as <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8594;</mo>
  <mi>&#8734;</mi>
 </math>, we
have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msub>
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo>lim</mo>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8594;</mo>
   <mi>&#8734;</mi>
  </mrow>
 </msub>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&mid;</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&mid;</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&mid;</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&mid;</mo>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Thus the radius of convergence is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.6.3.editing=useHTML@
qu.6.3.solution=@
qu.6.3.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$R=1/$a;@
qu.6.3.uid=0f727394-8ded-465e-a874-9368d8fd08d8@
qu.6.3.question=<p class="noindent">Find the radius of convergence of the following series.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msubsup>
   <mrow>
    <mo>&#8721;</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&#8734;</mi>
   </mrow>
  </msubsup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.6.3.blank.1=%24%7bR%7d%3f0.001@
qu.6.3.grader.1=formula@
qu.6.3.extra=@

