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    $b=int($a^($n)); $b1=int($b-1); $Int=$a^($n+1)/($n+1)-1/($n+1);
    ; $Id=decimal(4,$Int); $A=$a1*$b1;
    $P=decimal(0,decimal(0,$Int/$A*100*5)/5); $p=$P/100;
    $ansa=$P/100*$A; $ansad=decimal(1,$ansa); ;@
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qu.1.1.question=
     
     <p class="noindent">In this exercise we estimate the integral 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msubsup>
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      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
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     </math>
</p>
    @
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      <p class="noindent">Use a graph of the integrand to make a
      rough estimate of the integral.</p>
      
      <p class="noindent">
       <1>
      </p>
     @
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      <applet code="applets.grapher.Graph" width="250" height="250" codebase="/keele/modules">
       <param name="y1" value="x^(${n})"></param>
       <param name="gridLines" value="3"></param>
       <param name="xMin" value="0"></param>
       <param name="xMax" value="${a}"></param>
       <param name="yMin" value="0"></param>
       <param name="yMax" value="${b}"></param>
      </applet>
      
      <p class="noindent">A rough estimate of the area under the
      curve between 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>1</mn>
      </math>and 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>${a}</mn>
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      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>${P}</mn>
       <mi>%</mi>
      </math>of the area of a rectangle with sides 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>${a1}</mn>
      </math>and 
      
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       <mn>${b}</mn>
      </math>. Thus, 
      </p>
      
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       <mi>d</mi>
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       <mn>${P}</mn>
       <mi>%</mi>
       
        <mtext>&nbsp;of&nbsp;</mtext>
       
       <mn>${a1}</mn>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${b}</mn>
       <mo>-</mo>
       <mn>1</mn>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>=</mo>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${p}</mn>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${a1}</mn>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${b1}</mn>
       <mo>&#8776;</mo>
       <mn>${ansad}</mn>
       <mo>.</mo>
      </math>
      
      <p class="nopar"></p>
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qu.1.1.part.2.question=
      
      <p class="noindent">Use a calculator or computer to
      find the value of the definite integral. 
      <br class="newline">
      <br class="newline">
      <1>
      <br class="newline">
      <br class="newline"></p>
      
      <p class="noindent">(Give your answer correct to 4 decimal
      places.)</p>
     @
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      <p class="noindent">
       
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      </p>
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    $Int=$a^($n+1)/($n+1); $Id=decimal(4,$Int); $A=$a*$b;
    $P=decimal(0,decimal(0,$Int/$A*100*5)/5); $p=$P/100;
    $ansa=$P/100*$A; $ansad=decimal(1,$ansa);@
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qu.1.2.question=
     
     <p class="noindent">In this exercise we estimate the integral 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msubsup>
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     </math>
</p>
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qu.1.2.part.1.editing=useHTML@
qu.1.2.part.1.part.1.question=xx@
qu.1.2.part.1.question=
      
      <p class="noindent">Use a graph of the integrand to make a
      rough estimate of the integral.</p>
      
      <p class="noindent">
       <1>
      </p>
     @
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      <applet code="applets.grapher.Graph" width="250" height="250" codebase="/keele/modules">
       <param name="y1" value="x^(${n})"></param>
       <param name="gridLines" value="3"></param>
       <param name="xMin" value="0"></param>
       <param name="xMax" value="${a}"></param>
       <param name="yMin" value="0"></param>
       <param name="yMax" value="${b}"></param>
      </applet>
      
      <p class="noindent">A rough estimate of the area under the
      curve between 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>0</mn>
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      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>${a}</mn>
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      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>${P}</mn>
       <mi>%</mi>
      </math>of the area of a rectangle with sides 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>${a}</mn>
      </math>and 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>${b}</mn>
      </math>. Thus, 
      </p>
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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         <mo largeop="true">&#8747; 
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       <mo>&#8776;</mo>
       <mn>${P}</mn>
       <mi>%</mi>
       
        <mtext>&nbsp;of&nbsp;</mtext>
       
       <mn>${a}</mn>
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       <mn>${b}</mn>
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       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${b}</mn>
       <mo>&#8776;</mo>
       <mn>${ansad}</mn>
       <mo>.</mo>
      </math>
      
      <p class="nopar"></p>
     @
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      <p class="noindent">Use a calculator or computer to
      find the value of the definite integral. 
      <br class="newline">
      <br class="newline">
      <1>
      <br class="newline">
      <br class="newline"></p>
      
      <p class="noindent">(Give your answer correct to 4 decimal
      places.)</p>
     @
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      <p class="noindent">
       
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        <mspace width="0.25em"></mspace>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
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      </p>
     @
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qu.1.3.question=
     
     <p class="noindent">In this exercise we estimate the integral 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msubsup>
       <mrow>
        <mo>&#8747; 
        </mo>
        
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      </msubsup>
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      </msqrt>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
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     </math>
</p>
    @
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qu.1.3.part.1.part.1.answer.num=3.6@
qu.1.3.part.1.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
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qu.1.3.part.1.part.1.question=xx@
qu.1.3.part.1.question=
      
      <p class="noindent">Use a graph of the integrand to make a
      rough estimate of the integral.</p>
      
      <p class="noindent">
       <1>
      </p>
     @
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qu.1.3.part.1.part.1.negStyle=minus@
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qu.1.3.part.1.comment=
      <applet code="applets.grapher.Graph" width="250" height="250" codebase="/keele/modules">
       <param name="y1" value="sqrt(x)"></param>
       <param name="gridLines" value="3"></param>
       <param name="xMin" value="0"></param>
       <param name="xMax" value="3"></param>
       <param name="yMin" value="0"></param>
       <param name="yMax" value="2"></param>
      </applet>
      
      <p class="noindent">A rough estimate of the area under the
      curve between 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>0</mn>
      </math>and 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mi>x</mi>
       <mo>=</mo>
       <mn>3</mn>
      </math>is 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>70</mn>
       
       <mi>%</mi>
      </math>of the area of a rectangle with sides 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>3</mn>
      </math>and 
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mn>1.7</mn>
       
       
      </math>. Thus, 
      </p>
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
       <msubsup>
        <mrow>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>0</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </msubsup>
       <msqrt>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </msqrt>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
       <mo>&#8776;</mo>
       <mn>70</mn>
       
       <mi>%</mi>
       
        <mtext>&nbsp;of&nbsp;</mtext>
       
       <mn>3</mn>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>1.7</mn>
       
       
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>=</mo>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>0.70</mn>
       
       
       
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>3</mn>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>1.7</mn>
       
       
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>&#8776;</mo>
       <mn>3.6.</mn>
       
       
       
      </math>
      
      <p class="nopar"></p>
     @
qu.1.3.part.1.mode=Inline@
qu.1.3.part.1.uid=e4a13538-8dc5-453d-a67e-bb62f0a5d7e7@
qu.1.3.part.1.part.1.grading=toler_abs@
qu.1.3.part.1.part.1.err=0.25@
qu.1.3.part.1.weighting=1@
qu.1.3.part.1.part.1.showUnits=false@
qu.1.3.part.2.part.1.answer.num=3.4641@
qu.1.3.part.2.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.1.3.part.2.part.1.answer.units=@
qu.1.3.part.2.numbering=alpha@
qu.1.3.part.2.editing=useHTML@
qu.1.3.part.2.part.1.question=xx@
qu.1.3.part.2.question=
      
      <p class="noindent">Use a calculator or computer to
      find the value of the definite integral. 
      <br class="newline">
      <br class="newline">
      <1>
      <br class="newline">
      <br class="newline"></p>
      
      <p class="noindent">(Give your answer correct to 4 decimal
      places.)</p>
     @
qu.1.3.part.2.part.1.editing=useHTML@
qu.1.3.part.2.part.1.negStyle=minus@
qu.1.3.part.2.part.1.mode=Numeric@
qu.1.3.part.2.comment=
      
      <p class="noindent">
       
       <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
        <msubsup>
         <mrow>
          <mo>&#8747; 
          </mo>
          
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>0</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msubsup>
        <msqrt>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
        </msqrt>
        <mspace width="0.25em"></mspace>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>3.4641</mn>
        
        
        
        
        
       </math>
      </p>
     @
qu.1.3.part.2.mode=Inline@
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qu.2.topic=5.2: Simple Anti-derivatives@

qu.2.1.mode=Inline@
qu.2.1.name=5.2.2@
qu.2.1.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is a polynomial which is made up from 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and the constant 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>An antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Similarly, an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>. Combining these, an antiderivative of</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">is</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.1.editing=useHTML@
qu.2.1.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.1.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.1.solution=@
qu.2.1.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a); $b=int(rint(5)+2);
    $b3=int(3*$b); $ans=$b*x^3+$a*x;@
qu.2.1.uid=c5ac2bc8-2066-4050-993e-0bf10ed8600b@
qu.2.1.weighting=1@
qu.2.1.numbering=alpha@
qu.2.1.part.1.editing=useHTML@
qu.2.1.part.1.question=xx@
qu.2.1.part.1.answer=${ans}@
qu.2.1.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.1.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.2.mode=Inline@
qu.2.2.name=5.2.7@
qu.2.2.comment=
     
     <p class="noindent">The integrand is a simple power function
     of the form 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>n</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>. We know that 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mi>n</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
      
       <mtext>&nbsp;provided&nbsp;</mtext>
      
      <mi>n</mi>
      <mo>&ne;</mo>
      <mo>-</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.2.editing=useHTML@
qu.2.2.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.2.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.2.solution=@
qu.2.2.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a);
    $ans=$a*x^2;@
qu.2.2.uid=5b110ec7-12e0-4d3a-af4c-5e7f42ae8fb9@
qu.2.2.weighting=1@
qu.2.2.numbering=alpha@
qu.2.2.part.1.editing=useHTML@
qu.2.2.part.1.question=xx@
qu.2.2.part.1.answer=${ans}@
qu.2.2.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.2.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.2.3.mode=Inline@
qu.2.3.name=5.2.11@
qu.2.3.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is a combination of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>We use Theorem 6.1 to write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a2}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a2}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.3.editing=useHTML@
qu.2.3.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.3.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.3.solution=@
qu.2.3.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a);
    $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1); $ans=$a*x^2-$b*sin(x);@
qu.2.3.uid=a393cc73-66c9-4f0d-a938-0193b1a90c0a@
qu.2.3.weighting=1@
qu.2.3.numbering=alpha@
qu.2.3.part.1.editing=useHTML@
qu.2.3.part.1.question=xx@
qu.2.3.part.1.answer=${ans}@
qu.2.3.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.3.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.4.mode=Inline@
qu.2.4.name=5.2.8@
qu.2.4.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>,</mo>
     </math>so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>t</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>3</mn>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>t</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.4.editing=useHTML@
qu.2.4.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.4.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.4.solution=@
qu.2.4.algorithm=$a=int(2 rint(5)+3); $b=int(rint(5)+1);
    $ans=t^3/3+$a*t^2/2;@
qu.2.4.uid=02655d36-540a-4982-a788-d12557a52e13@
qu.2.4.weighting=1@
qu.2.4.numbering=alpha@
qu.2.4.part.1.editing=useHTML@
qu.2.4.part.1.question=xx@
qu.2.4.part.1.answer=${ans}@
qu.2.4.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.4.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.5.mode=Inline@
qu.2.5.name=5.2.12@
qu.2.5.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is a combination of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>We write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>-</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.5.editing=useHTML@
qu.2.5.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.5.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.5.solution=@
qu.2.5.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a);
    $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1);
    $ans=$a*sin(x)-$b*cos(x);@
qu.2.5.uid=70fc3a66-b042-4563-8f97-cd91ac05e9df@
qu.2.5.weighting=1@
qu.2.5.numbering=alpha@
qu.2.5.part.1.editing=useHTML@
qu.2.5.part.1.question=xx@
qu.2.5.part.1.answer=${ans}@
qu.2.5.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.5.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.6.mode=Inline@
qu.2.6.name=5.2.6@
qu.2.6.comment=
     
     <p class="noindent">The integrand 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>We use Theorem 6.1 to write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a3}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a3}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${b}</mn>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.6.editing=useHTML@
qu.2.6.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.6.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.6.solution=@
qu.2.6.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2); $a3=int(3*$a);
    $ans=$a*x^3+$b*x;@
qu.2.6.uid=980a440e-796c-4faf-a829-e52b57aa3a62@
qu.2.6.weighting=1@
qu.2.6.numbering=alpha@
qu.2.6.part.1.editing=useHTML@
qu.2.6.part.1.question=xx@
qu.2.6.part.1.answer=${ans}@
qu.2.6.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.6.question=
     
     <p class="noindent">Find the indefinite integral</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.7.mode=Inline@
qu.2.7.name=5.2.1@
qu.2.7.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is a polynomial which is made up from 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
     </math>and the constant 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${c}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>An antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Similarly, antiderivatives of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${c}</mn>
     </math>are 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a2}</mn>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${c}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>Combining these, an antiderivative of</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${c}</mn>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">is</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${c}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.7.editing=useHTML@
qu.2.7.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.7.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.7.solution=@
qu.2.7.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a); $b=int(rint(5)+1);
    $b3=int(3*$b); $c=int(2+rint(20));
    $ans=$b*x^3-$a*x^2+$c*x;@
qu.2.7.uid=93f486e5-f89a-41aa-9464-29bed1cc440a@
qu.2.7.weighting=1@
qu.2.7.numbering=alpha@
qu.2.7.part.1.editing=useHTML@
qu.2.7.part.1.question=xx@
qu.2.7.part.1.answer=${ans}@
qu.2.7.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.7.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${c}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.8.mode=Inline@
qu.2.8.name=5.2.4@
qu.2.8.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and the constant 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>An antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>e</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${a}</mn>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>.</mo>
     </math>Similarly, an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>Combining these, an antiderivative of</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">is</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.8.editing=useHTML@
qu.2.8.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.8.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.8.solution=@
qu.2.8.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a1=int(1-$a);
    $b0=int(rint(5)+2); $b=int(if(eq($a,$b0),9,$b0));
    $b1=int(1-$b); $ans=e^($a*x)/$a+$b*x;@
qu.2.8.uid=67518eec-9440-47d1-900a-32293d3dfe98@
qu.2.8.weighting=1@
qu.2.8.numbering=alpha@
qu.2.8.part.1.editing=useHTML@
qu.2.8.part.1.question=xx@
qu.2.8.part.1.answer=${ans}@
qu.2.8.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.8.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
     
     <p class="noindent">Use</p>
     <table width="100%" class="verbatim">
      <tr class="verbatim">
       <td class="verbatim">
        <div class="verbatim">e&#710;x</div>
       </td>
      </tr>
     </table>
     
     <p class="nopar">to denote the exponential function.</p>
    @

qu.2.9.mode=Inline@
qu.2.9.name=5.2.13@
qu.2.9.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is a combination of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>We write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>w</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>w</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>w</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.9.editing=useHTML@
qu.2.9.solution=@
qu.2.9.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2); $a2=int(2*$a);
    $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1); $ans=$a*e^w-$b*cos(w);@
qu.2.9.uid=ba8207a8-ee68-4875-a4ac-7aa1d92a5c9c@
qu.2.9.weighting=1@
qu.2.9.numbering=alpha@
qu.2.9.part.1.editing=useHTML@
qu.2.9.part.1.question=xx@
qu.2.9.part.1.answer=${ans}@
qu.2.9.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.9.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.2.10.mode=Inline@
qu.2.10.name=5.2.3@
qu.2.10.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>q</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a5}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>.</mo>
     </math>An antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a5}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>5</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Similarly, an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>,</mo>
     </math>noting the modulii signs. Combining these, an
     antiderivative of</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>q</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a5}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">is 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>5</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">Note: This would need to be input as 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>5</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>l</mi>
      <mi>n</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>a</mi>
      <mi>b</mi>
      <mi>s</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>.</p>
    @
qu.2.10.editing=useHTML@
qu.2.10.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.10.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.10.solution=@
qu.2.10.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a5=int(5*$a); $b=int(rint(5)+2);
    $b3=int(3*$b); $ans=$a*y^5+$b*ln(abs(y));@
qu.2.10.uid=6bd8111b-981a-4cd3-9568-f4644ecd57a2@
qu.2.10.weighting=1@
qu.2.10.numbering=alpha@
qu.2.10.part.1.editing=useHTML@
qu.2.10.part.1.question=xx@
qu.2.10.part.1.answer=${ans}@
qu.2.10.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.10.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>q</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a5}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>.</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>q</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>
     <br class="newline">
     <br class="newline">(Hint: Use 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      
       <mtext>abs</mtext>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>to represent 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>)</p>
    @

qu.2.11.mode=Inline@
qu.2.11.name=5.2.10@
qu.2.11.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <msqrt>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msqrt>
     </math>is a combination of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msqrt>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msqrt>
      <mo>,</mo>
     </math>so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a2}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <msqrt>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
         </msqrt>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>${a2}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msqrt>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
         </msqrt>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
           <mo>&#8725;</mo>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.11.editing=useHTML@
qu.2.11.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.11.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.11.solution=@
qu.2.11.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+1); $a2=int(2*$a);
    $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1); $ans=$a
    *x^2+$b*2*x^(3/2)/3;@
qu.2.11.uid=161336df-4151-42cf-939e-510e25b8fb1e@
qu.2.11.weighting=1@
qu.2.11.numbering=alpha@
qu.2.11.part.1.editing=useHTML@
qu.2.11.part.1.question=xx@
qu.2.11.part.1.answer=${ans}@
qu.2.11.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.11.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <msqrt>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msqrt>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.12.mode=Inline@
qu.2.12.name=5.2.9@
qu.2.12.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>,</mo>
     </math>so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>t</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${a1}</mn>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>t</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${b1}</mn>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${b1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.12.editing=useHTML@
qu.2.12.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.12.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.12.solution=@
qu.2.12.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b0=int(rint(5)+2);
    $b=int(if(eq($a,$b0),7,$b0)); $a1=int($a+1); $b1=int($b+1);
    $ans=t^($a1)/$a1+t^($b1)/$b1;@
qu.2.12.uid=bedbb05b-8202-47fb-add4-34ae8e194587@
qu.2.12.weighting=1@
qu.2.12.numbering=alpha@
qu.2.12.part.1.editing=useHTML@
qu.2.12.part.1.question=xx@
qu.2.12.part.1.answer=${ans}@
qu.2.12.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.12.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>.</p>
    @

qu.2.13.mode=Inline@
qu.2.13.name=5.2.5@
qu.2.13.comment=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is the sum of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>An antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>,</mo>
     </math>which will need to be input as 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      
       <mtext>abs</mtext>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>Similarly, an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>y</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>y</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>Combining these, an antiderivative of</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">is</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>y</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>y</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.13.editing=useHTML@
qu.2.13.hint.1=
     
     <p class="noindent">If 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>are integrable functions then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mi>f</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>g</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.13.hint.2=
     
     <p class="noindent">The function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is the sum of the two functions 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>Integrating gives 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mfrac>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.2.13.solution=@
qu.2.13.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a1=int(1-$a);
    $b0=int(rint(5)+2); $b=int(if(eq($a,$b0),9,$b0));
    $b1=int(1-$b); $ans=$a*ln(abs(y))+y^2/2+$b*y;@
qu.2.13.uid=2c097a96-b219-4748-9870-119daf796417@
qu.2.13.weighting=1@
qu.2.13.numbering=alpha@
qu.2.13.part.1.editing=useHTML@
qu.2.13.part.1.question=xx@
qu.2.13.part.1.answer=${ans}@
qu.2.13.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.2.13.question=
     
     <p class="noindent">Find an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>+</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>y</mi>
      <mo>=</mo>
     </math>
     <1>. 
     <br class="newline">
     <br class="newline">(Hint: Use 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      
       <mtext>abs</mtext>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>to represent 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>)</p>
    @

qu.3.topic=5.3: Guess and check@

qu.3.1.mode=Inline@
qu.3.1.name=5.3.3@
qu.3.1.comment=
     
     <p class="noindent">The derivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>${n}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">The function is an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.3.1.editing=useHTML@
qu.3.1.solution=@
qu.3.1.algorithm=$n=int(rint(5)+3); $n1=int($n-1); $type=rint(2);
    $s=switch($type,"","-"); $correct="Yes";
    $incorrect="No";@
qu.3.1.uid=d13ef83c-109a-44f4-89cd-2d9c795d0bc5@
qu.3.1.weighting=1@
qu.3.1.numbering=alpha@
qu.3.1.part.1.grader=exact@
qu.3.1.part.1.editing=useHTML@
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qu.3.1.question=
     
     <p class="noindent">Is the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${n}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>?</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
    @

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qu.3.2.comment=
     
     <p class="noindent">The derivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>is found using the chain rule. The inside function is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and the outside function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>so that</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfenced>
       <mo>=</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>f</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>&prime;</mi>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&sdot;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>g</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>&prime;</mi>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>=</mo>
       <mo>-</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">The function ${comment} an antiderivative
     of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
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qu.3.2.solution=@
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    $incorrect=switch($type,"Yes","No"); $comment=switch($type,"is
    not","is");@
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qu.3.2.question=
     
     <p class="noindent">Is the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${s}</mn>
      <mn>${n}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>?</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
    @

qu.3.3.mode=Inline@
qu.3.3.name=5.3.2@
qu.3.3.comment=
     
     <p class="noindent">The derivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${n}</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </msup>
     </math>is found using the chain rule. The inside function is 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>g</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and the outside function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>f</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>so that</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${n}</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfenced>
       <mo>=</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>f</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>&prime;</mi>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&sdot;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>g</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>&prime;</mi>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>=</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>e</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">The function is an antiderivative of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.3.3.editing=useHTML@
qu.3.3.solution=@
qu.3.3.algorithm=$n=int(rint(5)+3); $n1=int($n-1); $type=rint(2);
    $s=switch($type,"","-"); $correct="Yes";
    $incorrect="No";@
qu.3.3.uid=2d1ac288-5b2b-4f41-b98e-ce96190b33b8@
qu.3.3.weighting=1@
qu.3.3.numbering=alpha@
qu.3.3.part.1.grader=exact@
qu.3.3.part.1.editing=useHTML@
qu.3.3.part.1.question=(Unset)@
qu.3.3.part.1.answer.2=${incorrect}@
qu.3.3.part.1.answer.1=${correct}@
qu.3.3.part.1.mode=List@
qu.3.3.part.1.display=menu@
qu.3.3.part.1.credit.2=0.0@
qu.3.3.part.1.credit.1=1.0@
qu.3.3.question=
     
     <p class="noindent">Is the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${n}</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </msup>
     </math>an antiderivative for the function 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>p</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
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      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${n}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${n}</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>?</mo>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
    @

qu.4.topic=5.4: Integration by substitution@

qu.4.1.mode=Inline@
qu.4.1.name=5.4.11@
qu.4.1.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>,</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     <br class="newline">
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mi>t</mi>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mi>t</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
         <mo>=</mo>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${n1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${n1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mi>t</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
            <mi>t</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="[" close="]">
          <mrow>
           <mo>-</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${n1}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <msup>
            <mrow>
             <mo stretchy="false">(</mo>
             <mo>&#8290;</mo>
             <mo>cos</mo>
             
             <mi>t</mi>
             <mo>+</mo>
             <mn>${a}</mn>
             <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${n1}</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo>+</mo>
           <mi>C</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${n1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${n1}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mi>t</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mo>-</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mi>t</mi>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mi>t</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${n}</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.4.1.editing=useHTML@
qu.4.1.solution=@
qu.4.1.algorithm=$a=int(3+rint(5)); $n=int(2+rint(3)); $n1=int($n+1);
    $ans=-1/$n1*(cos(t)+$a)^($n1);@
qu.4.1.uid=76772703-2be2-456b-b903-568ce5d475a5@
qu.4.1.weighting=1@
qu.4.1.numbering=alpha@
qu.4.1.part.1.editing=useHTML@
qu.4.1.part.1.question=xx@
qu.4.1.part.1.answer=${ans}@
qu.4.1.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.1.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       
       <mi>t</mi>
       <msup>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.2.mode=Inline@
qu.4.2.name=5.4.10@
qu.4.2.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>, 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${ab}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">
     <br class="newline">Check: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${ab}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <msup>
            <mrow>
             <mo>&#8290;</mo>
             <mo>sin</mo>
             
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${a1}</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${b}</mn>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
           <mo>+</mo>
           <mi>C</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${a1}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${ab}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mn>${b}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mn>${b}</mn>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mn>${b}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mn>${b}</mn>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.4.2.editing=useHTML@
qu.4.2.solution=@
qu.4.2.algorithm=$a=int(3*rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2);
    $a1=int($a+1); $ab=int($a1*$b);
    $ans=1/$ab*sin($b*t)^($a1);@
qu.4.2.uid=b2b27718-a713-4cf7-8b60-d333fef5356f@
qu.4.2.weighting=1@
qu.4.2.numbering=alpha@
qu.4.2.part.1.editing=useHTML@
qu.4.2.part.1.question=xx@
qu.4.2.part.1.answer=${ans}@
qu.4.2.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.2.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.3.mode=Inline@
qu.4.3.name=5.4.7@
qu.4.3.comment=
     
     <p class="noindent">In this case, it seems easier not to
     substitute. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a3}</mn>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>5</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>5</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>3</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a3}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">
     <br class="newline">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mfrac>
         <mrow>
          <msup>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>5</mn>
           </mrow>
          </msup>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>5</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a2}</mn>
        <mfrac>
         <mrow>
          <msup>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </msup>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a3}</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a2}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a3}</mn>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.4.3.editing=useHTML@
qu.4.3.solution=@
qu.4.3.algorithm=$a=int(5*rint(5)+2); $b=int(rint(5)+1);
    $a2=int(2*$a); $a3=int($a*$a); $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1);
    $ans=x^5/5+$a2*x^3/3+$a3*x;@
qu.4.3.uid=c1184b24-154d-42fc-aee0-7db91a2b365a@
qu.4.3.weighting=1@
qu.4.3.numbering=alpha@
qu.4.3.part.1.editing=useHTML@
qu.4.3.part.1.question=xx@
qu.4.3.part.1.answer=${ans}@
qu.4.3.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.3.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.4.mode=Inline@
qu.4.4.name=5.4.2@
qu.4.4.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>.</p>
    @
qu.4.4.editing=useHTML@
qu.4.4.solution=@
qu.4.4.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
     $b=switch(rint(5),"2","3","a","b","K");
     $ans=e^($b*t+$a);@
qu.4.4.uid=e31cc2fa-be94-4aa6-8eef-a22830394818@
qu.4.4.weighting=1@
qu.4.4.numbering=alpha@
qu.4.4.part.1.editing=useHTML@
qu.4.4.part.1.question=xx@
qu.4.4.part.1.answer=${ans}@
qu.4.4.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.4.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mn>${b}</mn>
      <msup>
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        <mi>e</mi>
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        <mi>t</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
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      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.5.mode=Inline@
qu.4.5.name=5.4.4@
qu.4.5.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
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        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
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     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <msup>
            <mrow>
             <mi>t</mi>
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            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo>-</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
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        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
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          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <msup>
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            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo>-</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b1}</mn>
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         </msup>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
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            <mrow>
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           </msup>
           <mi>d</mi>
           <mi>t</mi>
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         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
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       <mtr>
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        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
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           <mrow>
            <mn>3</mn>
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          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
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           <mi>w</mi>
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         </msup>
         <mi>d</mi>
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        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${b2}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${b2}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <msup>
            <mrow>
             <mi>t</mi>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo>-</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mfrac>
         <mrow>
          <mn>1</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${b2}</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
        <msup>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <msup>
           <mrow>
            <mi>t</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </msup>
          <mo>-</mo>
          <mn>${a}</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${b}</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b2}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>3</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>t</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>-</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>t</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>-</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>.</p>
    @
qu.4.5.editing=useHTML@
qu.4.5.solution=@
qu.4.5.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+3); $b1=int($b-1);
    $b2=int(3*$b); $ans=(t^3-$a)^($b)/$b2;@
qu.4.5.uid=7b6b493d-b064-485c-9095-5635779ba96b@
qu.4.5.weighting=1@
qu.4.5.numbering=alpha@
qu.4.5.part.1.editing=useHTML@
qu.4.5.part.1.question=xx@
qu.4.5.part.1.answer=${ans}@
qu.4.5.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.5.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>t</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>-</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${b1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.6.mode=Inline@
qu.4.6.name=5.4.8@
qu.4.6.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>,</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msqrt>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
         </msqrt>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mfrac>
            <mrow>
             <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>2</mn>
            </mrow>
           </mfrac>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>w</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mfrac>
               <mrow>
                <mn>3</mn>
               </mrow>
               <mrow>
                <mn>2</mn>
               </mrow>
              </mfrac>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>3</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>w</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mfrac>
               <mrow>
                <mn>3</mn>
               </mrow>
               <mrow>
                <mn>2</mn>
               </mrow>
              </mfrac>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>3</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>w</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mfrac>
               <mrow>
                <mn>3</mn>
               </mrow>
               <mrow>
                <mn>2</mn>
               </mrow>
              </mfrac>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mfrac>
            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>2</mn>
            </mrow>
           </mfrac>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar">
      <br class="newline">
     </p>
     
     <p class="noindent">Check: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
            <mi>t</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mo>-</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${a3}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <msup>
            <mrow>
             <mo stretchy="false">(</mo>
             <mn>${a}</mn>
             <mi>t</mi>
             <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mrow>
             <mfrac>
              <mrow>
               <mn>3</mn>
              </mrow>
              <mrow>
               <mn>2</mn>
              </mrow>
             </mfrac>
            </mrow>
           </msup>
           <mo>+</mo>
           <mi>C</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mfrac>
            <mrow>
             <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>2</mn>
            </mrow>
           </mfrac>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <msqrt>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
         </msqrt>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.4.6.editing=useHTML@
qu.4.6.solution=@
qu.4.6.algorithm=$a=int(5*rint(5)+2); $b=int(rint(5)+1);
    $a3=int(3*$a); $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1);
    $ans=-2*cos($a*t)^(3/2)/$a3;@
qu.4.6.uid=3764e348-7439-4232-8e63-fd9b3ee26e26@
qu.4.6.weighting=1@
qu.4.6.numbering=alpha@
qu.4.6.part.1.editing=useHTML@
qu.4.6.part.1.question=xx@
qu.4.6.part.1.answer=${ans}@
qu.4.6.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.6.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msqrt>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>cos</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </msqrt>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.7.mode=Inline@
qu.4.7.name=5.4.3@
qu.4.7.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>2</mn>
      <mo>&sdot;</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mfrac>
         <mrow>
          <mn>1</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>t</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>2</mn>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>.</p>
    @
qu.4.7.editing=useHTML@
qu.4.7.solution=@
qu.4.7.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+1);
    $ans=sin($a*t^2)/2;@
qu.4.7.uid=3979b2f9-865a-4339-b0bb-6e5bd75ac1cc@
qu.4.7.weighting=1@
qu.4.7.numbering=alpha@
qu.4.7.part.1.editing=useHTML@
qu.4.7.part.1.question=xx@
qu.4.7.part.1.answer=${ans}@
qu.4.7.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.7.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.8.mode=Inline@
qu.4.8.name=5.4.5@
qu.4.8.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>3</mn>
      <mo>&sdot;</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <msup>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a33}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>w</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a33}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>1</mn>
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           <mn>${a}</mn>
           <msup>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>3</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mfrac>
         <mrow>
          <mn>1</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>${a33}</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
        <msup>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mn>1</mn>
          <mo>+</mo>
          <mn>${a}</mn>
          <msup>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>3</mn>
           </mrow>
          </msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a33}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a3}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>.</p>
    @
qu.4.8.editing=useHTML@
qu.4.8.solution=@
qu.4.8.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $a3=int(3*$a); $a33=int(3*$a3);
     $ans=(1+$a*x^3)^3/$a33;@
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qu.4.8.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
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        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

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qu.4.9.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>4</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>4</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>4</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>w</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo>&mid;</mo>
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      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>.</p>
    @
qu.4.9.editing=useHTML@
qu.4.9.solution=@
qu.4.9.algorithm=$a=int(rint(5)+2); $b=int(rint(5)+2);
    $ans=ln(x^4+$a);@
qu.4.9.uid=8e8d6ac1-ccfc-4659-8cb6-61c0c3cd4910@
qu.4.9.weighting=1@
qu.4.9.numbering=alpha@
qu.4.9.part.1.editing=useHTML@
qu.4.9.part.1.question=xx@
qu.4.9.part.1.answer=${ans}@
qu.4.9.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.9.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>4</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.10.mode=Inline@
qu.4.10.name=5.4.9@
qu.4.10.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mi>t</mi>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>, 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>w</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${a1}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">
     <br class="newline">Check: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
            <mi>t</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${a1}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <msup>
            <mrow>
             <mo>&#8290;</mo>
             <mo>sin</mo>
             
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${a1}</mn>
            </mrow>
           </msup>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mi>t</mi>
           <mo stretchy="false">)</mo>
           <mo>+</mo>
           <mi>C</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${a1}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>t</mi>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mi>t</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.4.10.editing=useHTML@
qu.4.10.solution=@
qu.4.10.algorithm=$a=int(5*rint(5)+2); $b=int(rint(5)+1);
    $a1=int($a+1); $ans=1/$a1*sin(t)^($a1);@
qu.4.10.uid=058fee0a-111c-4214-ab4e-9bb3cc178a93@
qu.4.10.weighting=1@
qu.4.10.numbering=alpha@
qu.4.10.part.1.editing=useHTML@
qu.4.10.part.1.question=xx@
qu.4.10.part.1.answer=${ans}@
qu.4.10.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.10.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.4.11.mode=Inline@
qu.4.11.name=5.4.6@
qu.4.11.comment=
     
     <p class="noindent">We use the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>d</mi>
      <mi>y</mi>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>d</mi>
            <mi>y</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>y</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mi>d</mi>
         <mi>y</mi>
        </mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>w</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>w</mi>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>y</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar">We can drop the absolute signs since 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&gt;</mo>
      <mn>0</mn>
     </math>. 
     <br class="newline"></p>
     
     <p class="noindent">Check: 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>ln</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>d</mi>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.4.11.editing=useHTML@
qu.4.11.solution=@
qu.4.11.algorithm=$a=int(rint(5)+1); $b=int(rint(5)+1);
     $a3=int(3*$a); $b1=int($b-1); $b2=(3*$b1);
     $ans=ln(y+$a);@
qu.4.11.uid=a41d65e8-6bb8-465f-9c7b-b315907d0be4@
qu.4.11.weighting=1@
qu.4.11.numbering=alpha@
qu.4.11.part.1.editing=useHTML@
qu.4.11.part.1.question=xx@
qu.4.11.part.1.answer=${ans}@
qu.4.11.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.4.11.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>y</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
      <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
      <mi>y</mi>
      <mo>&gt;</mo>
      <mn>0.</mn>
      
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.topic=5.5: Integration by parts@

qu.5.1.mode=Inline@
qu.5.1.name=5.5.7@
qu.5.1.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>. 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>t</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.1.editing=useHTML@
qu.5.1.solution=@
qu.5.1.algorithm=$a=switch(rint(5),"a","3","5","K","s");
    $ans=-(t+$a)*cos(t+$a)+sin(t+$a);@
qu.5.1.uid=e3be5b07-4bf2-4225-8a62-91bbde3d42bd@
qu.5.1.weighting=1@
qu.5.1.numbering=alpha@
qu.5.1.part.1.editing=useHTML@
qu.5.1.part.1.question=xx@
qu.5.1.part.1.answer=${ans}@
qu.5.1.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.1.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mi>t</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mi>t</mi>
       <mo>+</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.2.mode=Inline@
qu.5.2.name=5.5.6@
qu.5.2.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>y</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${b}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#8725;</mo>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
        <mo>&sdot;</mo>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${b}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
        <mo>&#8725;</mo>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>
</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mi>y</mi>
         <msqrt>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>y</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </msqrt>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>y</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mi>y</mi>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>y</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
           <mo>&#8725;</mo>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>y</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
           <mo>&#8725;</mo>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>y</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a3}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mi>y</mi>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>y</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>3</mn>
           <mo>&#8725;</mo>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>4</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a15}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>y</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>5</mn>
           <mo>&#8725;</mo>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.2.editing=useHTML@
qu.5.2.solution=@
qu.5.2.algorithm=$a=int(2+rint(4));
    $b=switch(rint(4),"1","2","a","b"); $a3=int($a*3);
    $a15=int($a*$a*15); $ans=2*y*($a*y+$b)^(3/2)/$a3
    -4*($a*y+$b)^(5/2)/$a15;@
qu.5.2.uid=dcfbd1dc-5c28-4a53-bf9c-85084ac58963@
qu.5.2.weighting=1@
qu.5.2.numbering=alpha@
qu.5.2.part.1.editing=useHTML@
qu.5.2.part.1.question=xx@
qu.5.2.part.1.answer=${ans}@
qu.5.2.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.2.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mi>y</mi>
       <msqrt>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>y</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </msqrt>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.3.mode=Inline@
qu.5.3.name=5.5.9@
qu.5.3.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>x</mi>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>so that 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mi>x</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>cos</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>. Integration by parts then gives</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mi>x</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mi>x</mi>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mo>&#8290;</mo>
            <mo>cos</mo>
            
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>${a}</mn>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a2}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.3.editing=useHTML@
qu.5.3.solution=@
qu.5.3.algorithm=$a=int(3+rint(5)); $a2=int($a^2);
     $ans=-x*cos($a*x)/$a + sin($a*x)/$a2;@
qu.5.3.uid=39c3fb74-7300-4b9a-99a6-989f88010deb@
qu.5.3.weighting=1@
qu.5.3.numbering=alpha@
qu.5.3.part.1.editing=useHTML@
qu.5.3.part.1.question=xx@
qu.5.3.part.1.answer=${ans}@
qu.5.3.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.3.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mi>x</mi>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.4.mode=Inline@
qu.5.4.name=5.5.4@
qu.5.4.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${m}</mn>
      <mi>z</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>${m2}</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>z</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>z</mi>
     </math>. Now 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
        <mi>z</mi>
        <mspace width="0.25em"></mspace>
        <mi>d</mi>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>${m2}</mn>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>z</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>can be evaluated by the substitution 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mn>${m2}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>d</mi>
      <mi>w</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>${m3}</mn>
      <mi>z</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>,</mo>
     </math>so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
         <mi>z</mi>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>z</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <mn>${m2}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>=</mo>
      <mn>${m}</mn>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mfrac>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m3}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>w</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m4}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>w</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>w</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m4}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo>&mid;</mo>
      <mi>w</mi>
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m4}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mn>${m2}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">So 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>z</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>z</mi>
      <mo>-</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m4}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>+</mo>
      <mn>${m2}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.4.editing=useHTML@
qu.5.4.solution=@
qu.5.4.algorithm=$m=int(4+rint(5)); $m2=int($m*$m); $m3=int(2*$m2);
    $m4=int(2*$m);
    $ans=z*arctan($m*z)-ln(1+$m2*z^2)/$m4;@
qu.5.4.uid=fbe100e2-43bc-4bd7-be7c-367faa5f0275@
qu.5.4.weighting=1@
qu.5.4.numbering=alpha@
qu.5.4.part.1.editing=useHTML@
qu.5.4.part.1.question=xx@
qu.5.4.part.1.answer=${ans}@
qu.5.4.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.4.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>arctan</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${m}</mn>
       <mi>z</mi>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.5.mode=Inline@
qu.5.5.name=5.5.3@
qu.5.5.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>ln</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>ln</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>t</mi>
     </math>. Then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>ln</mo>
        
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>t</mi>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>ln</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>2</mn>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>2</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mn>2</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar">(We use the fact that 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mi>x</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
     </math>, a result which can be derived using integration by
     parts.)</p>
    @
qu.5.5.editing=useHTML@
qu.5.5.solution=@
qu.5.5.algorithm=$a=switch(rint(5),"2","5","A","s","K");
    $ans=t*ln($a*t)^2-2*t*ln($a*t)+2t@
qu.5.5.uid=704a7ab0-d68d-4a90-ae67-563bfa9b933e@
qu.5.5.weighting=1@
qu.5.5.numbering=alpha@
qu.5.5.part.1.editing=useHTML@
qu.5.5.part.1.question=xx@
qu.5.5.part.1.answer=${ans}@
qu.5.5.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.5.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <msup>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.6.mode=Inline@
qu.5.6.name=5.5.1@
qu.5.6.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>2</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>.</p>
     
     <p class="noindent">Then 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>-</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>. The integral on the right hand side is simpler than
     our original integral, but to evaluate it we need to again use
     integration by parts.</p>
     
     <p class="noindent">To find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>, let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>t</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
     </math>.</p>
     
     <p class="noindent">This gives 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">Thus,</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mi>t</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>-</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m3}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mn>${m}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.6.editing=useHTML@
qu.5.6.solution=@
qu.5.6.algorithm=$m=int(2+rint(5)); $m2=int($m*$m); $m3=int($m2*$m);
    $ans=t^2*sin($m*t)/$m + 2*t*cos( $m*t)/$m2 -
    2*sin($m*t)/$m3;@
qu.5.6.uid=98c48c2d-c977-4474-96fb-6e197e3ce5a8@
qu.5.6.weighting=1@
qu.5.6.numbering=alpha@
qu.5.6.part.1.editing=useHTML@
qu.5.6.part.1.question=xx@
qu.5.6.part.1.answer=${ans}@
qu.5.6.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.6.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <msup>
        <mrow>
         <mi>t</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>cos</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${m}</mn>
       <mi>t</mi>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.7.mode=Inline@
qu.5.7.name=5.5.8@
qu.5.7.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>z</mi>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo>-</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>. Thus 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo>-</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>1</mn>
     </math>. Integration by parts gives: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mi>z</mi>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mo>-</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>z</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>z</mi>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>e</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
              <mi>z</mi>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>-</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>e</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
              <mi>z</mi>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>z</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mi>z</mi>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>e</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
              <mi>z</mi>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>e</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
              <mi>z</mi>
             </mrow>
            </msup>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a2}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.7.editing=useHTML@
qu.5.7.solution=@
qu.5.7.algorithm=$a=int(3+rint(6)); $a2=int($a*$a); $ans=
    -z*e^(-$a*z)/$a-e^(-$a*z)/$a2;@
qu.5.7.uid=aadc6476-4453-41c9-8238-c5a98993e06e@
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qu.5.7.part.1.question=xx@
qu.5.7.part.1.answer=${ans}@
qu.5.7.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.7.question=
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>z</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>e</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${a}</mn>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.8.mode=Inline@
qu.5.8.name=5.5.5@
qu.5.8.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>ln</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>q</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>. Then 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m1}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${m1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
      </mfrac>
     </math>. Integrating by parts, we get: 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mi>q</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>q</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>q</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${m1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>q</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>q</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>q</mi>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${m1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>q</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>q</mi>
        </mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${m1}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>q</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mn>${a}</mn>
         <mi>q</mi>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${m2}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>q</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${m1}</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.5.8.editing=useHTML@
qu.5.8.solution=@
qu.5.8.algorithm=$a=switch(rint(5),"a","b","f","g","p");
    $m=int(rint(5)+2); $m1=int($m+1); $m2=int($m1*$m1);
    $ans=q^($m1)*ln($a*q)/$m1-q^($m1)/$m2;@
qu.5.8.uid=6cf2e802-74e7-42d2-ab43-88f35f501857@
qu.5.8.weighting=1@
qu.5.8.numbering=alpha@
qu.5.8.part.1.editing=useHTML@
qu.5.8.part.1.question=xx@
qu.5.8.part.1.answer=${ans}@
qu.5.8.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.8.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <msup>
        <mrow>
         <mi>q</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${m}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>ln</mo>
       
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>q</mi>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>q</mi>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.5.9.mode=Inline@
qu.5.9.name=5.5.2@
qu.5.9.comment=
     
     <p class="noindent">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>v</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>u</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>=</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>v</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>&#8725;</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </math>. Then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>cos</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>cos</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mo>&#8290;</mo>
            <mo>sin</mo>
            
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>${a}</mn>
            <mi>t</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo>&#8290;</mo>
            <mo>cos</mo>
            
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>${a}</mn>
            <mi>t</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>1</mn>
         <mo>-</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>-</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mo>&#8290;</mo>
            <mo>sin</mo>
            
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>${a}</mn>
            <mi>t</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo>&#8290;</mo>
            <mo>cos</mo>
            
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>${a}</mn>
            <mi>t</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mn>1</mn>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
         <mo>-</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <msup>
          <mrow>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo>sin</mo>
           
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mi>t</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>t</mi>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">By adding 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
     </math>to both sides of the above equation, we find that
     
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mn>2</mn>
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>cos</mo>
        
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>+</mo>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
     </math>, so 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&#8747; 
      </mo>
      
      <msup>
       <mrow>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mo>sin</mo>
        
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>t</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>-</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>C</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>&prime;</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </math>.</p>
    @
qu.5.9.editing=useHTML@
qu.5.9.solution=@
qu.5.9.algorithm=$a=switch(rint(5),"4","3","A","Z","k");
    $ans=-sin($a*t)*cos($a*t)/(2*$a) + t/2;@
qu.5.9.uid=55981509-e563-4b5d-953d-0a24f2808f49@
qu.5.9.weighting=1@
qu.5.9.numbering=alpha@
qu.5.9.part.1.editing=useHTML@
qu.5.9.part.1.question=xx@
qu.5.9.part.1.answer=${ans}@
qu.5.9.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.5.9.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate the following integral:</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <msup>
        <mrow>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>sin</mo>
         
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>t</mi>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mo stretchy="false">)</mo>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
     <1>.</p>
    @

qu.6.topic=Section 5.6: Algebraic identities and trigonometric substitutions@

qu.6.1.mode=Inline@
qu.6.1.name=5.6.2@
qu.6.1.comment=
     
     <p class="noindent">The partial fraction decomposition of 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">is 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${c}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${absB}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>${C}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${D}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${b}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mo>+</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${c}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${d}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${c}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${d}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mn>${c}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.1.editing=useHTML@
qu.6.1.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.1.solution=@
qu.6.1.algorithm=$a=int(rint(2)+4); $d=int($a+1+rint(2));
     $c=int(rint(4)+4); $b=int($c*$a/$d+2); $C=int(($a+$d));
     $D=int($a*$d); $A=int($b+$c); $B=int(-$b*$d-$c*$a);
     $absB=int(-$B);
     $ans=$b*ln(abs(x-$a))+$c*ln(abs(x-$d));@
qu.6.1.uid=68fe9347-4a5e-485c-b8da-2e98dbe7f667@
qu.6.1.weighting=1@
qu.6.1.numbering=alpha@
qu.6.1.part.1.editing=useHTML@
qu.6.1.part.1.question=xx@
qu.6.1.part.1.answer=${ans}@
qu.6.1.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.1.question=
     
     <p class="noindent">Integrate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.2.mode=Inline@
qu.6.2.name=5 .6.8@
qu.6.2.comment=
     
     <p class="noindent">Since 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>=</mo>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>we have</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>4</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">Therefore,</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${B}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mo largeop="true">&#8747; 
           </mo>
           
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mspace width="0.25em"></mspace>
           <mi>d</mi>
           <mi>x</mi>
           <mo>-</mo>
           <mo largeop="true">&#8747; 
           </mo>
           
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mspace width="0.25em"></mspace>
           <mi>d</mi>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>arctan</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.2.editing=useHTML@
qu.6.2.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.2.hint.2=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Completing the Square</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>b</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>c</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we can use partial fractions to express the
     integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">where 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>are the solutions of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>0.</mn>
      
     </math>If the roots are not real we can complete the square to
     write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>b</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>r</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To evaluate the integral we use the
     standard integral that</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.2.solution=@
qu.6.2.algorithm=$a=int(rint(4)+2); $b=int(rint(4)+$a+2);
     $b2=int($b*$b); $A=int($a+$b); $B=int($b-$a);
     $ans=$a*arctan(x)+$b/2*ln(abs((x-1)/(x+1)));@
qu.6.2.uid=2e69db45-1d91-4db3-b722-e5aedb9cd6a8@
qu.6.2.weighting=1@
qu.6.2.numbering=alpha@
qu.6.2.part.1.editing=useHTML@
qu.6.2.part.1.question=xx@
qu.6.2.part.1.answer=${ans}@
qu.6.2.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.2.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>4</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.3.mode=Inline@
qu.6.3.name=5.6.7@
qu.6.3.comment=
     
     <p class="noindent">Since 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>=</mo>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>-</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>we have</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>4</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">Therefore,</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${B}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>+</mo>
            <mn>1</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mo largeop="true">&#8747; 
           </mo>
           
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mspace width="0.25em"></mspace>
           <mi>d</mi>
           <mi>x</mi>
           <mo>-</mo>
           <mo largeop="true">&#8747; 
           </mo>
           
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mspace width="0.25em"></mspace>
           <mi>d</mi>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
         </mfenced>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>arctan</mo>
         
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>2</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mo>.</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.3.editing=useHTML@
qu.6.3.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.3.hint.2=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Completing the Square</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>b</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>c</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we can use partial fractions to express the
     integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">where 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>are the solutions of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>0.</mn>
      
     </math>If the roots are not real we can complete the square to
     write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>b</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>r</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To evaluate the integral we use the
     standard integral that</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.3.solution=@
qu.6.3.algorithm=$a=int(rint(2)+2); $b=int(rint(2)+$a+1);
     $b2=int($b*$b); $A=int($a+$b); $B=int($b-$a);
     $ans=$a*arctan(x)+$b/2*ln(abs((x-1)/(x+1)));@
qu.6.3.uid=84267feb-f321-41b6-92ac-b66830066718@
qu.6.3.weighting=1@
qu.6.3.numbering=alpha@
qu.6.3.part.1.editing=useHTML@
qu.6.3.part.1.question=xx@
qu.6.3.part.1.answer=${ans}@
qu.6.3.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.3.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>4</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.4.mode=Inline@
qu.6.4.name=5.6.4@
qu.6.4.comment=
     
     <p class="noindent">The partial fraction decomposition of 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">is 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${c}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${absB}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>${C}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${D}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${b}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${k}</mn>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mo>+</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${c}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${d}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${c}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${d}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mn>${k}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mn>${c}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.4.editing=useHTML@
qu.6.4.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.4.solution=@
qu.6.4.algorithm=$a=int(rint(4)+2); $d=int($a+1+rint(2));
     $c=int(rint(4)+2); $k=int(rint(2)+2); $b=int($c*$a/$d+2);
     $C=int($a+$d*$k); $D=int($a*$d); $A=int($b+$c*$k);
     $B=int(-$b*$d-$c*$a); $absB=int(-$B);
     $ans=$b/$k*ln(abs($k*x-$a))+$c*ln(abs(x-$d));@
qu.6.4.uid=7275a97e-8c96-49b2-b660-3857e92ab567@
qu.6.4.weighting=1@
qu.6.4.numbering=alpha@
qu.6.4.part.1.editing=useHTML@
qu.6.4.part.1.question=xx@
qu.6.4.part.1.answer=${ans}@
qu.6.4.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.4.question=
     
     <p class="noindent">Integrate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.5.mode=Inline@
qu.6.5.name=5.6.3@
qu.6.5.comment=
     
     <p class="noindent">The partial fraction decomposition of 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">is 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${c}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${absB}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>${C}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${D}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${b}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>${k}</mn>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mo>+</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${c}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${d}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${c}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${d}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mn>${k}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mn>${k}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mn>${c}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.5.editing=useHTML@
qu.6.5.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.5.solution=@
qu.6.5.algorithm=$a=int(rint(2)+2); $d=int($a+1+rint(2));
     $c=int(rint(2)+2); $k=int(rint(2)+2); $b=int($c*$a/$d+2);
     $C=int($a+$d*$k); $D=int($a*$d); $A=int($b+$c*$k);
     $B=int(-$b*$d-$c*$a); $absB=int(-$B);
     $ans=$b/$k*ln(abs($k*x-$a))+$c*ln(abs(x-$d));@
qu.6.5.uid=3820a097-d97b-4f4d-b9ba-155ab1b07c43@
qu.6.5.weighting=1@
qu.6.5.numbering=alpha@
qu.6.5.part.1.editing=useHTML@
qu.6.5.part.1.question=xx@
qu.6.5.part.1.answer=${ans}@
qu.6.5.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.5.question=
     
     <p class="noindent">Integrate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${k}</mn>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.6.mode=Inline@
qu.6.6.name=5.6.5@
qu.6.6.comment=
     
     <p class="noindent">Since 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${A}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${B}</mn>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b2}</mn>
     </math>we have</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mi>x</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>,</mo>
     </math>then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>u</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>u</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>u</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.6.editing=useHTML@
qu.6.6.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Completing the Square</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>b</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>c</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we can use partial fractions to express the
     integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">where 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>are the solutions of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>0.</mn>
      
     </math>If the roots are not real we can complete the square to
     write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>b</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>r</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To evaluate the integral we use the
     standard integral that</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.6.solution=@
qu.6.6.algorithm=$a=int(rint(2)+2); $b=int(rint(2)+$a);
     $b2=int($b*$b); $A=int(2*$a); $B=int($a*$a+$b*$b);
     $ans=arctan((x+$a)/$b)/$b;@
qu.6.6.uid=bf98c53f-d98e-42d3-b2b2-7d3be715bc2d@
qu.6.6.weighting=1@
qu.6.6.numbering=alpha@
qu.6.6.part.1.editing=useHTML@
qu.6.6.part.1.question=xx@
qu.6.6.part.1.answer=${ans}@
qu.6.6.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.6.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.7.mode=Inline@
qu.6.7.name=5.6.1@
qu.6.7.comment=
     
     <p class="noindent">The partial fraction decomposition of 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">is 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${c}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar">so</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
       <mtr>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${A}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${absB}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <msup>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
             </mrow>
             <mrow>
              <mn>2</mn>
             </mrow>
            </msup>
            <mo>-</mo>
            <mn>${C}</mn>
            <mi>x</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>${D}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mfenced separators="" open="(" close=")">
          <mrow>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${b}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${a}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
           <mo>+</mo>
           <mstyle displaystyle="true">
            <mfrac>
             <mrow>
              <mn>${c}</mn>
             </mrow>
             <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>-</mo>
              <mn>${d}</mn>
             </mrow>
            </mfrac>
           </mstyle>
          </mrow>
         </mfenced>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${b}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${a}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mo largeop="true">&#8747; 
         </mo>
         
         <mstyle displaystyle="true">
          <mfrac>
           <mrow>
            <mn>${c}</mn>
           </mrow>
           <mrow>
            <mi>x</mi>
            <mo>-</mo>
            <mn>${d}</mn>
           </mrow>
          </mfrac>
         </mstyle>
         <mspace width="0.25em"></mspace>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mn>${c}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo>ln</mo>
         
         <mo>&mid;</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${d}</mn>
         <mo>&mid;</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>C</mi>
        </mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd></mtd>
        <mtd>
         <mspace width="1em" class="quad"></mspace>
         
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.7.editing=useHTML@
qu.6.7.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Partial Fractions</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>c</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>d</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we write the integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To find values for 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
     </math>we recombine the partial fractions to get</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo>+</mo>
         <mi>B</mi>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>a</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>b</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">and compare 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>b</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>B</mi>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>-</mo>
      <mi>a</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </math>with 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>c</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>d</mi>
     </math>to find 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>A</mi>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>B</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
</p>
    @
qu.6.7.solution=@
qu.6.7.algorithm=$a=int(rint(2)+3); $d=int($a+1+rint(2));
     $c=int(rint(2)+2); $b=int($c*$a/$d+2); $C=int(($a+$d));
     $D=int($a*$d); $A=int($b+$c); $B=int(-$b*$d-$c*$a);
     $absB=int(-$B);
     $ans=$b*ln(abs(x-$a))+$c*ln(abs(x-$d));@
qu.6.7.uid=1fea4225-e178-4aca-8160-c812db0ae1ce@
qu.6.7.weighting=1@
qu.6.7.numbering=alpha@
qu.6.7.part.1.editing=useHTML@
qu.6.7.part.1.question=xx@
qu.6.7.part.1.answer=${ans}@
qu.6.7.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.7.question=
     
     <p class="noindent">Integrate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <mn>${absB}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>-</mo>
         <mn>${C}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${D}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mo>.</mo>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

qu.6.8.mode=Inline@
qu.6.8.name=5.6.6@
qu.6.8.comment=
     
     <p class="noindent">Since 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${A}</mn>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${B}</mn>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${a}</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b2}</mn>
     </math>we have</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mo stretchy="false">(</mo>
           <mi>x</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
           <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">Let 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <mo>,</mo>
     </math>then 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>u</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b2}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>u</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>u</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">so 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>u</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>=</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mfenced separators="" open="(" close=")">
       <mrow>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
       </mrow>
      </mfenced>
      <mo>+</mo>
      <mi>C</mi>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.8.editing=useHTML@
qu.6.8.hint.1=
     
     <p class="noindent">
     <span class="cmbx-12">Completing the Square</span>
     <br class="newline">
     <br class="newline">To evaluate the integral 
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mo stretchy="false">(</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mi>b</mi>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>c</mi>
         <mo stretchy="false">)</mo>
         <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </math>
     
     <p class="nopar">we can use partial fractions to express the
     integrand as</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>A</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>+</mo>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>B</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>-</mo>
         <msub>
          <mrow>
           <mi>&alpha;</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msub>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mo>,</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">where 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>and 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msub>
       <mrow>
        <mi>&alpha;</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msub>
     </math>are the solutions of 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <mn>0.</mn>
      
     </math>If the roots are not real we can complete the square to
     write</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>b</mi>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
      <mo>=</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mstyle displaystyle="true">
         <mfrac>
          <mrow>
           <mi>b</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </mfrac>
        </mstyle>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>r</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
     
     <p class="noindent">To evaluate the integral we use the
     standard integral that</p>
     
     <p class="noindent">
      
     </p>
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
      <mo largeop="true">&#8747; 
      </mo>
      
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
      <mspace width="0.25em"></mspace>
      <mi>d</mi>
      <mi>z</mi>
      <mo>=</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>arctan</mo>
      
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo stretchy="false">)</mo>
      <mo>.</mo>
     </math>
     
     <p class="nopar"></p>
    @
qu.6.8.solution=@
qu.6.8.algorithm=$a=int(rint(6)+2); $b=int(rint(6)+$a);
     $b2=int($b*$b); $A=int(2*$a); $B=int($a*$a+$b*$b);
     $ans=arctan((x+$a)/$b)/$b;@
qu.6.8.uid=ec76e579-44b4-4ccc-b4fe-d22012f80460@
qu.6.8.weighting=1@
qu.6.8.numbering=alpha@
qu.6.8.part.1.editing=useHTML@
qu.6.8.part.1.question=xx@
qu.6.8.part.1.answer=${ans}@
qu.6.8.part.1.mode=Formula Mod C@
qu.6.8.question=
     
     <p class="noindent">Evaluate</p>
     
     <p class="noindent">
      
      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
       <mo>&#8747; 
       </mo>
       
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${A}</mn>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${B}</mn>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mspace width="0.25em"></mspace>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </math>
     </p>
     
     <p class="noindent">
      <1>
     </p>
     
     <p class="noindent">(Hint: If you need to use the modulus
     function, 
     
     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
      <mo>&mid;</mo>
      <mo>.</mo>
      <mo>&mid;</mo>
     </math>, use abs(.).)</p>
    @

