qu.1.topic=4.2.1 The sum rule@

qu.1.1.mode=Inline@
qu.1.1.name=4.2.1.1@
qu.1.1.comment=<p class="noindent">To differentiate this function we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>, and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${b2}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.1.editing=useHTML@
qu.1.1.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
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  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.1.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
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  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <mi>x</mi>
 </math>

and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <mn>3</mn>
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    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
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    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
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    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
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 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.1.solution=@
qu.1.1.algorithm=$a1=int(rint(5)+2);
$a2=int($a1+int(3)+1);
$n1=int(rint(5)+2);
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$n2=int(if(eq($n1,$n),int($n+1),$n));
$m1=int(if(eq($n1,1),"",$n1-1));
$m2=int(if(eq($n2,1),"",$n2-1));
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$ans=$b1*x^($m1)+ $b2*x^($m2);@
qu.1.1.uid=be2a8d55-5b08-49ad-9a82-616a4d6c8c60@
qu.1.1.weighting=1@
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qu.1.1.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mi>y</mi>
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   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.2.mode=Inline@
qu.1.2.name=4.2.1.2@
qu.1.2.comment=<p class="noindent">To differentiate this function we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
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is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b1}</mn>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
 </math>, the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${a2}</mn>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
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   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
   </mrow>
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 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mn>${b2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${n1}</mn>
 </math>
is zero because it is a constant. Therefore
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
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  <mrow>
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  <mrow>
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  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>${b2}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.2.editing=useHTML@
qu.1.2.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
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  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
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  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
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 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.2.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
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   </mrow>
   <mrow>
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  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
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   <mrow>
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  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
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   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
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 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
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  </mrow>
  <mrow>
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  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.2.solution=@
qu.1.2.algorithm=$a1=int(switch(rint(5),3,4,6,-3,-2));
$a=int(switch(rint(5),3,5,4,4,5));
$a2=int($a);
$n1=int(switch(rint(3),3,4,5,6));
$n=int(switch(rint(5),3,5,4,4,5));
$n2=if(eq($n1,$n),$n+1,$n1);
$m1=int($n1-1);
$m2=int($n2-1);
$b1=int($a1*$n1);
$b2=int($a2*$n2);
$ans=$b1*x^($m1)- $b2*x^($m2);@
qu.1.2.uid=4ca70bfa-a9b5-407b-8501-eafb8d87b59d@
qu.1.2.weighting=1@
qu.1.2.numbering=alpha@
qu.1.2.part.1.editing=useHTML@
qu.1.2.part.1.question=xx@
qu.1.2.part.1.answer=${ans}@
qu.1.2.part.1.mode=Formula@
qu.1.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>${a2}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${n1}</mn>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.3.mode=Inline@
qu.1.3.name=4.2.1.11@
qu.1.3.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>${b2}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.3.editing=useHTML@
qu.1.3.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.3.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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   <mrow>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
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  <mo>=</mo>
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>=</mo>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
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   <mrow>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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  </msup>
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so

</p>
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 </mstyle>
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   <msup>
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  </mrow>
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<p class="nopar"/>@
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 </math> are
differentiable functions then
</p>
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  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
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  <mo>=</mo>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mi>f</mi>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
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  <mo>=</mo>
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   <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
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   </mrow>
  </mfrac>
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  <mrow>
   <msup>
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    <mrow>
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    </mrow>
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   <msup>
    <mrow>
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    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
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 <mo>+</mo>
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  <mrow>
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  <mrow>
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 <mo>.</mo>
</math>
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</p>
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<p class="noindent">
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
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 <mo>=</mo>
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  <mrow>
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  </mrow>
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</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.4.editing=useHTML@
qu.1.4.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   <mrow>
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   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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  </mfrac>
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  </mrow>
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 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
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 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.4.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
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   <msup>
    <mrow>
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    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.4.solution=@
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$bm=int(-$b-1);
$ans=-$b*x^($bm);@
qu.1.4.uid=2196d770-65c7-45d5-a1dc-20aa9dcca9cc@
qu.1.4.weighting=1@
qu.1.4.numbering=alpha@
qu.1.4.part.1.editing=useHTML@
qu.1.4.part.1.question=xx@
qu.1.4.part.1.answer=${ans}@
qu.1.4.part.1.mode=Formula@
qu.1.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

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qu.1.5.name=4.2.1.6@
qu.1.5.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a2}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>, we
have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
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when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a2}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${s}</mn>
 </math>. </p>@
qu.1.5.editing=useHTML@
qu.1.5.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.5.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.5.solution=@
qu.1.5.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$a2=int(2*$a);
$c=int(rint(6)+1);
$s=int(rint(5)+2);
$b=int(2*$a*$s);@
qu.1.5.uid=569c54e2-bd62-45df-b2ef-1fb55e50f7f5@
qu.1.5.weighting=1@
qu.1.5.numbering=alpha@
qu.1.5.part.1.editing=useHTML@
qu.1.5.part.1.question=xx@
qu.1.5.part.1.answer=${s}@
qu.1.5.part.1.mode=Formula@
qu.1.5.question=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>. For
what <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>-values
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>?
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.1.6.mode=Inline@
qu.1.6.name=4.2.1.15@
qu.1.6.comment=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>6</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
 </math>.
The second derivative is the derivative of the derivative, and thus
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&#8243;</mo>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${nn1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>6</mn>
 </math>.
</p>@
qu.1.6.editing=useHTML@
qu.1.6.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.6.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.6.solution=@
qu.1.6.algorithm=$n=int(rint(3)+4);
$a=int(rint(5)+2);
$n1=int($n-1);
$nn1=int($n*$n1);
$n2=int($n1-1);
$ans1=$n*t^($n1)-6*t+$a;
$ans2=$nn1*t^($n2)-6;@
qu.1.6.uid=294f86d6-71eb-465f-9b79-0610f27b6c59@
qu.1.6.weighting=1,1@
qu.1.6.numbering=alpha@
qu.1.6.part.1.editing=useHTML@
qu.1.6.part.1.question=xx@
qu.1.6.part.1.answer=${ans1}@
qu.1.6.part.1.mode=Formula@
qu.1.6.part.2.editing=useHTML@
qu.1.6.part.2.question=xx@
qu.1.6.part.2.answer=${ans2}@
qu.1.6.part.2.mode=Formula@
qu.1.6.question=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>,
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><1><br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&#8243;</mo>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><2></p>@

qu.1.7.mode=Inline@
qu.1.7.name=4.2.1.3@
qu.1.7.comment=<p class="noindent">To differentiate this function we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>, the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${a2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b2}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m2}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${n1}</mn>
 </math>
is zero because it is a constant. Therefore
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>${b2}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.7.editing=useHTML@
qu.1.7.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.7.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
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gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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so
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</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.9.hint.4=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.9.solution=@
qu.1.9.algorithm=$a1=switch(rint(5),"a","b","c","d","f");
$a=switch(rint(5),"a","b","c","d","f");
$a2=if(eq($a,$a1),"k",$a);
$n1=switch(rint(3),"n","m","k","r");
$n=switch(rint(3),"n","m","k","r");
$n2=if(eq($n1,$n),"z",$n);
$m1=$n1-1;
$m2=$n2-1;
$b1=$a1*($n1);
$b2=$a2*($n2);
$ans=$b1*x^($m1)-$b2*x^($m2);@
qu.1.9.uid=8a25c39d-939a-4b2d-b2ce-5a959dd45a13@
qu.1.9.weighting=1@
qu.1.9.numbering=alpha@
qu.1.9.part.1.editing=useHTML@
qu.1.9.part.1.question=xx@
qu.1.9.part.1.answer=${ans}@
qu.1.9.part.1.mode=Formula@
qu.1.9.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>${a2}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n2}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.10.mode=Inline@
qu.1.10.name=4.2.1.5@
qu.1.10.comment=<p class="noindent">The rate of change of the population is given by the derivative. To differentiate this function we
use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">The derivative of the polynomial <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>4</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>4</mn>
 </math>. At
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${t}</mn>
 </math>, the rate of change
of the population is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${t}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>4</mn>
  <mo>=</mo>
  <mn>${Pd}</mn>
 </math>,
meaning the population is growing by ${Pd} units per unit of time. </p>@
qu.1.10.editing=useHTML@
qu.1.10.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.10.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.10.solution=@
qu.1.10.algorithm=$t=int(rint(5)+1);
$Pd=int(3*$t*$t+4);@
qu.1.10.uid=5d67fa77-a14f-4f8b-b0be-654624d478f2@
qu.1.10.weighting=1,1,1,1@
qu.1.10.numbering=alpha@
qu.1.10.part.1.editing=useHTML@
qu.1.10.part.1.question=xx@
qu.1.10.part.1.answer=${Pd}@
qu.1.10.part.1.mode=Formula@
qu.1.10.part.2.editing=useHTML@
qu.1.10.part.2.question=xx@
qu.1.10.part.2.answer=${t}@
qu.1.10.part.2.mode=Formula@
qu.1.10.part.3.grader=exact@
qu.1.10.part.3.editing=useHTML@
qu.1.10.part.3.question=(Unset)@
qu.1.10.part.3.answer.3=changing@
qu.1.10.part.3.answer.2=decreasing@
qu.1.10.part.3.answer.1=growing@
qu.1.10.part.3.mode=List@
qu.1.10.part.3.display=menu@
qu.1.10.part.3.credit.3=0.5@
qu.1.10.part.3.credit.2=0.0@
qu.1.10.part.3.credit.1=1.0@
qu.1.10.part.4.editing=useHTML@
qu.1.10.part.4.question=xx@
qu.1.10.part.4.answer=${Pd}@
qu.1.10.part.4.mode=Formula@
qu.1.10.question=<p class="noindent">The rate of change of a population of size <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>4</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
at time <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${t}</mn>
 </math> is
<1><br class="newline"/>
 <br class="newline"/>This means that at the time <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><2> the population is <3>by <4> units per unit of time. </p>@

qu.1.11.mode=Inline@
qu.1.11.name=4.2.1.14@
qu.1.11.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>w</mi>
 </math> is a
constant times <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>q</mi>
 </math>,
we have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>d</mi>
  <mi>w</mi>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mi>d</mi>
  <mi>q</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.</p>@
qu.1.11.editing=useHTML@
qu.1.11.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.11.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.11.solution=@
qu.1.11.algorithm=$a=switch(rint(3),"a","b","c","f");
$c=switch(rint(3),"r","s","t","u");
$ans=$a/$c;@
qu.1.11.uid=a46a00f7-c1fb-472c-88d4-51695034a681@
qu.1.11.weighting=1@
qu.1.11.numbering=alpha@
qu.1.11.part.1.editing=useHTML@
qu.1.11.part.1.question=xx@
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qu.1.11.part.1.mode=Formula@
qu.1.11.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
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 <mi>w</mi>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
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 <mi>q</mi>
</math>
<p class="nopar"> where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${c}</mn>
 </math>
are constants
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.12.mode=Inline@
qu.1.12.name=4.2.1.10@
qu.1.12.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
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 <mo>+</mo>
 <mn>${b2}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.12.editing=useHTML@
qu.1.12.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
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  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
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   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.12.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
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    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.12.solution=@
qu.1.12.algorithm=$a1=int(rint(5)+2);
$a2=int($a1+int(3)+1);
$a3=int($a1+int(3)+1);
$b1=int(2*$a1);
$b2=int($a2);
$ans=$b1*x+$b2;@
qu.1.12.uid=6bd523fc-673d-4caf-b029-b76cba3471f0@
qu.1.12.weighting=1@
qu.1.12.numbering=alpha@
qu.1.12.part.1.editing=useHTML@
qu.1.12.part.1.question=xx@
qu.1.12.part.1.answer=${ans}@
qu.1.12.part.1.mode=Formula@
qu.1.12.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a2}</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a3}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.13.mode=Inline@
qu.1.13.name=4.2.1.7@
qu.1.13.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.13.editing=useHTML@
qu.1.13.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.13.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.13.solution=@
qu.1.13.algorithm=$a=switch(rint(4),"a","b","c","d","f");
$b=switch(rint(4),"a","b","c","d","f");
$c=switch(rint(4),"a","b","c","d","f");@
qu.1.13.uid=7d5a93d7-5cc6-4ab3-abd1-56a5a7027bfe@
qu.1.13.weighting=1@
qu.1.13.numbering=alpha@
qu.1.13.part.1.editing=useHTML@
qu.1.13.part.1.question=xx@
qu.1.13.part.1.answer=2${a}x+${b}@
qu.1.13.part.1.mode=Formula@
qu.1.13.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.14.mode=Inline@
qu.1.14.name=4.2.1.4@
qu.1.14.comment=<p class="noindent">To differentiate this function we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">This function is a quadratic polynomial which we differentiate as follows. The derivative of
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a1}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b1}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>,</mo>
 </math> the derivative
of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a2}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math> is the
constant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a2}</mn>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a3}</mn>
 </math>
is zero because it is a constant. Therefore,
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>${b2}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.14.editing=useHTML@
qu.1.14.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.14.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.14.solution=@
qu.1.14.algorithm=$a1=int(rint(5)+2);
$a2=int($a1+int(3)+1);
$a3=int($a1+int(3)+1);
$b1=int(2*$a1);
$b2=int($a2);
$ans=$b1*x+$a2;@
qu.1.14.uid=9389d359-b3d1-4164-a853-5e85d810e54b@
qu.1.14.weighting=1@
qu.1.14.numbering=alpha@
qu.1.14.part.1.editing=useHTML@
qu.1.14.part.1.question=xx@
qu.1.14.part.1.answer=${ans}@
qu.1.14.part.1.mode=Formula@
qu.1.14.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a1}</mn>
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  <mrow>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
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 <mn>${a2}</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a3}</mn>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.15.mode=Inline@
qu.1.15.name=4.2.1.13@
qu.1.15.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b1}</mn>
 <mi>t</mi>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b2}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b3}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.15.editing=useHTML@
qu.1.15.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.15.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the sum
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>9</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>3</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>+</mo>
 <mn>9</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.15.solution=@
qu.1.15.algorithm=$a1=int(rint(50)+2);
$a2=int(2*(rint(50)+2));
$a3=int($a1+2);
$b1=int(2*$a1);
$b2=int($a2/2);
$b3=int($a3);
$ans=$b1*t+$b2/sqrt(t)-$b3/t^2;@
qu.1.15.uid=b23201bb-0164-4cf6-8f60-d7c93fa37e65@
qu.1.15.weighting=1@
qu.1.15.numbering=alpha@
qu.1.15.part.1.editing=useHTML@
qu.1.15.part.1.question=xx@
qu.1.15.part.1.answer=${ans}@
qu.1.15.part.1.mode=Formula@
qu.1.15.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a1}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${a2}</mn>
 <msqrt>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msqrt>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a3}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.2.topic=4.2.2: The exponential function@

qu.2.1.mode=Inline@
qu.2.1.name=4.2.2.11@
qu.2.1.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mn>${r}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${r}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.2.1.editing=useHTML@
qu.2.1.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Note that when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>e</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.1.solution=@
qu.2.1.algorithm=$r=(100+rint(9)+1)/100;
$C=int( 1000*(rint(5)+1) );
$ans=$C*ln($r)*$r^t;@
qu.2.1.uid=273ba8f3-045c-45c9-ad7d-2d993d54d527@
qu.2.1.weighting=1@
qu.2.1.numbering=alpha@
qu.2.1.part.1.editing=useHTML@
qu.2.1.part.1.question=xx@
qu.2.1.part.1.answer=${ans}@
qu.2.1.part.1.mode=Formula@
qu.2.1.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${r}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.2.mode=Inline@
qu.2.2.name=4.2.2.14@
qu.2.2.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${ab}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.2.2.editing=useHTML@
qu.2.2.solution=@
qu.2.2.algorithm=$a=int(rint(6)+2);
$b1=int(rint(10)+1);
$b=int(if(($b1,10),1,$b1));
$ab=int($a*$b);@
qu.2.2.uid=5fd310fe-6271-4075-9c76-026950788b0e@
qu.2.2.weighting=1@
qu.2.2.numbering=alpha@
qu.2.2.part.1.editing=useHTML@
qu.2.2.part.1.question=(Unset)@
qu.2.2.part.1.answer=$ab*e^($b*t)@
qu.2.2.part.1.mode=Formula@
qu.2.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.3.mode=Inline@
qu.2.3.name=4.2.2.5@
qu.2.3.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
 </math> is the sum of
an exponential function, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and a polynomial function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>.
To differentiate we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b2}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b2}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>@
qu.2.3.editing=useHTML@
qu.2.3.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.3.solution=@
qu.2.3.algorithm=$a=switch(rint(3),2,3,4,5);
$b=switch(rint(3),"S","T","U","V");
$b2="2 $b";
$c1=switch(rint(3),"A","B","C","F");
$c=if(eq($a,$b),"R",$c1);@
qu.2.3.uid=30597784-cfd1-4b6e-8d85-1b92c5700423@
qu.2.3.weighting=1@
qu.2.3.numbering=alpha@
qu.2.3.part.1.editing=useHTML@
qu.2.3.part.1.question=(Unset)@
qu.2.3.part.1.answer=$a*e^x -$b2*x@
qu.2.3.part.1.mode=Formula@
qu.2.3.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.4.mode=Inline@
qu.2.4.name=4.2.2.13@
qu.2.4.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${cns}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${cns}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${cns}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. When
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>10</mn>
 </math>,

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${cns}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <msup>
  <mrow>
   <mn>${cns}</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>10</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mo>\\$</mo>
 <mn>${inf}</mn>
 <mtext>&nbsp;/year</mtext>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mn>${infc}</mn>
 <mtext>&nbsp;cents/year</mtext>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.4.editing=useHTML@
qu.2.4.solution=@
qu.2.4.algorithm=$r=int(rint(8)+2);
$cns=decimal(2,(1+$r/100));
$inf=decimal(4,ln($cns)*$cns^10);
$infc=decimal(2,100*$inf);@
qu.2.4.uid=909880cf-f2b2-4c52-9a88-9e53a47496ff@
qu.2.4.weighting=1@
qu.2.4.numbering=alpha@
qu.2.4.part.1.answer.units=@
qu.2.4.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.4.part.1.editing=useHTML@
qu.2.4.part.1.showUnits=false@
qu.2.4.part.1.err=0.01@
qu.2.4.part.1.question=xx@
qu.2.4.part.1.mode=Numeric@
qu.2.4.part.1.grading=toler_abs@
qu.2.4.part.1.negStyle=minus@
qu.2.4.part.1.answer.num=${infc}@
qu.2.4.question=<p class="noindent">With yearly inflation of ${r}%, prices are given by
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>P</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mi>P</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>0</mn>
  </mrow>
 </msub>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${cns}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>,</mo>
</math>
<p class="nopar"> where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
  </msub>
 </math> is the price
in dollars when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math> is time in years. Suppose
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>. How fast (in cents/year)
are prices rising when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>10</mn>
 </math>.
<1>  to the nearest cent.</p>@

qu.2.5.mode=Inline@
qu.2.5.name=4.2.2.1@
qu.2.5.comment=<p class="noindent">This is the sum of two exponential functions.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> so
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. </p>@
qu.2.5.editing=useHTML@
qu.2.5.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Note that when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>e</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.5.hint.2=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.5.solution=@
qu.2.5.algorithm=$a=int(rint(6)+2);
$b=int(rint(5)+2);
$a1=int($a-1);@
qu.2.5.uid=f276fd57-cae4-4fdd-976c-21c2643e5068@
qu.2.5.weighting=1@
qu.2.5.numbering=alpha@
qu.2.5.part.1.editing=useHTML@
qu.2.5.part.1.question=(Unset)@
qu.2.5.part.1.answer=ln($a)*$a^t +$b*e^(t)@
qu.2.5.part.1.mode=Formula@
qu.2.5.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.2.6.mode=Inline@
qu.2.6.name=4.2.2.6@
qu.2.6.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${cns}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${cns}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${cns}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. When
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>10</mn>
 </math>,
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> ln</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${cns}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <msup>
  <mrow>
   <mn>${cns}</mn>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>10</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mo>\\$</mo>
 <mn>${inf}</mn>
 <mtext>&nbsp;/year</mtext>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mn>${infc}</mn>
 <mtext>&nbsp;cents/year</mtext>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.6.editing=useHTML@
qu.2.6.solution=@
qu.2.6.algorithm=$r=int(rint(8)+2);
$cns=decimal(2,(1+$r/100));
$inf=decimal(4,ln($cns)*$cns^10);
$infc=decimal(2,100*$inf);@
qu.2.6.uid=b4ead493-8596-4b15-96af-e690a997e7b1@
qu.2.6.weighting=1@
qu.2.6.numbering=alpha@
qu.2.6.part.1.answer.units=@
qu.2.6.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.6.part.1.editing=useHTML@
qu.2.6.part.1.showUnits=false@
qu.2.6.part.1.err=0.5@
qu.2.6.part.1.question=xx@
qu.2.6.part.1.mode=Numeric@
qu.2.6.part.1.grading=toler_abs@
qu.2.6.part.1.negStyle=minus@
qu.2.6.part.1.answer.num=${infc}@
qu.2.6.question=<p class="noindent">With yearly inflation of ${r}%, prices are given by
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>P</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <msub>
  <mrow>
   <mi>P</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>0</mn>
  </mrow>
 </msub>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${cns}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>,</mo>
</math>
<p class="nopar"> where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
  </msub>
 </math> is the price
in dollars when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math> and

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math> is time in years. Suppose
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msub>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0</mn>
   </mrow>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> How fast (in cents/year)
are prices rising when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>10</mn>
  <mo>?</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">Prices are rising by <1>   cents/year.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Give your answer to two decimal places.</p>@

qu.2.7.mode=Inline@
qu.2.7.name=4.2.2.10@
qu.2.7.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.2.7.editing=useHTML@
qu.2.7.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Note that when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>e</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.7.solution=@
qu.2.7.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int(rint(5)+2);
$c=int(rint(4)+2);
$ans=-$b*ln($c)*$c^x;@
qu.2.7.uid=8b08be6c-2e6f-446a-b49c-9b82f500d125@
qu.2.7.weighting=1@
qu.2.7.numbering=alpha@
qu.2.7.part.1.editing=useHTML@
qu.2.7.part.1.question=xx@
qu.2.7.part.1.answer=${ans}@
qu.2.7.part.1.mode=Formula@
qu.2.7.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.8.mode=Inline@
qu.2.8.name=4.2.2.4@
qu.2.8.comment=<p class="noindent">This function is the sum of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
 </math>. Since the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
 </math>, the
<span class="cmbx-12">chain rule</span> gives
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>p</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.8.editing=useHTML@
qu.2.8.solution=@
qu.2.8.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int(rint(4)+2);@
qu.2.8.uid=c86cb6df-0cce-42e8-a4bb-a1bfc0b0c0f3@
qu.2.8.weighting=1@
qu.2.8.numbering=alpha@
qu.2.8.part.1.editing=useHTML@
qu.2.8.part.1.question=(Unset)@
qu.2.8.part.1.answer=
$a*e^($a*t+$b)@
qu.2.8.part.1.mode=Formula@
qu.2.8.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>p</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>p</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.2.9.mode=Inline@
qu.2.9.name=4.2.2.9@
qu.2.9.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.2.9.editing=useHTML@
qu.2.9.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.9.hint.2=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Note that when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>e</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.9.solution=@
qu.2.9.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$ans=$n*x^($n1)+ln($n)*$n^x;@
qu.2.9.uid=75a46d19-a146-4728-ba67-8bc2865a3530@
qu.2.9.weighting=1@
qu.2.9.numbering=alpha@
qu.2.9.part.1.editing=useHTML@
qu.2.9.part.1.question=xx@
qu.2.9.part.1.answer=${ans}@
qu.2.9.part.1.mode=Formula@
qu.2.9.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.10.mode=Inline@
qu.2.10.name=4.2.2.7@
qu.2.10.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>4</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.10.editing=useHTML@
qu.2.10.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.10.hint.2=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>Note that when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>a</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>e</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.10.solution=@
qu.2.10.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int(rint(4)+2);@
qu.2.10.uid=ae1c96cb-8188-4a57-9333-5b4408f18a01@
qu.2.10.weighting=1@
qu.2.10.numbering=alpha@
qu.2.10.part.1.editing=useHTML@
qu.2.10.part.1.question=(Unset)@
qu.2.10.part.1.answer=$a+1/(3*x^(4/3))+ln($b)*$b^x@
qu.2.10.part.1.mode=Formula@
qu.2.10.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mroot>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>3</mn>
     </mrow>
    </mroot>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>e</mi>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.11.mode=Inline@
qu.2.11.name=4.2.2.8@
qu.2.11.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C2}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.2.11.editing=useHTML@
qu.2.11.solution=@
qu.2.11.algorithm=$r=int(rint(5)+2);
$C=int(1000*(rint(5)+1));
$C2=int(2*$C);@
qu.2.11.uid=9680db8f-2a4d-432e-97b9-406f15e07fa4@
qu.2.11.weighting=1@
qu.2.11.numbering=alpha@
qu.2.11.part.1.editing=useHTML@
qu.2.11.part.1.question=(Unset)@
qu.2.11.part.1.answer=$C2*t+$r*e^t@
qu.2.11.part.1.mode=Formula@
qu.2.11.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.2.12.mode=Inline@
qu.2.12.name=4.2.2.2@
qu.2.12.comment=<p class="noindent">This function is the sum of an power function,
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and an exponential
function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${ab}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and the
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>

is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">We use the <span class="cmbx-12">sum rule</span> to get
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${ab}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.2.12.editing=useHTML@
qu.2.12.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.12.solution=@
qu.2.12.algorithm=$a=int(rint(5)+3);
$b=int(rint(5)+3);
$c=int(rint(8)+1)/10;
$ab=int($a*$b);
$b1=int($b-1);@
qu.2.12.uid=c5a5f61a-0488-44a6-b43c-5313b2271f0b@
qu.2.12.weighting=1@
qu.2.12.numbering=alpha@
qu.2.12.part.1.editing=useHTML@
qu.2.12.part.1.question=(Unset)@
qu.2.12.part.1.answer=$ab*t^($b1) + $c*e^(t)@
qu.2.12.part.1.mode=Formula@
qu.2.12.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.2.13.mode=Inline@
qu.2.13.name=4.2.2.3@
qu.2.13.comment=<p class="noindent">We have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>100</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>f</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${f}</mn>
 <mtext>&nbsp;mg,</mtext>
</math>
<p class="nopar">
 <br class="newline"/>The derivative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
is given by
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Therefore,
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${ft}</mn>
 <mtext>&nbsp;mg/hour,</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">This means that ${t} hours after the drug was administered, the quantity of drug in the body is ${fd} mg
and the quantity is increasing at a rate of ${ftmd} mg per hour.</p>@
qu.2.13.editing=useHTML@
qu.2.13.solution=@
qu.2.13.algorithm=$t=int(rint(5)+3);
$f=decimal(2,100*e^($t));
$ft=decimal(2,100*e^($t));
$ftm=-$ft;
$fd=decimal(4,$f);
$ftd=decimal(4,$ft);
$ftmd=decimal(4,$ftm);@
qu.2.13.uid=62be700f-f82c-4913-a36a-50db1df7169b@
qu.2.13.weighting=1,1,1,1,1,1@
qu.2.13.numbering=alpha@
qu.2.13.part.1.answer.units=@
qu.2.13.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.13.part.1.editing=useHTML@
qu.2.13.part.1.showUnits=false@
qu.2.13.part.1.err=0.005@
qu.2.13.part.1.question=xx@
qu.2.13.part.1.mode=Numeric@
qu.2.13.part.1.grading=toler_abs@
qu.2.13.part.1.negStyle=minus@
qu.2.13.part.1.answer.num=${f}@
qu.2.13.part.2.answer.units=@
qu.2.13.part.2.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.13.part.2.editing=useHTML@
qu.2.13.part.2.showUnits=false@
qu.2.13.part.2.err=0.005@
qu.2.13.part.2.question=xx@
qu.2.13.part.2.mode=Numeric@
qu.2.13.part.2.grading=toler_abs@
qu.2.13.part.2.negStyle=minus@
qu.2.13.part.2.answer.num=${ft}@
qu.2.13.part.3.editing=useHTML@
qu.2.13.part.3.question=xx@
qu.2.13.part.3.answer=${t}@
qu.2.13.part.3.mode=Formula@
qu.2.13.part.4.answer.units=@
qu.2.13.part.4.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.13.part.4.editing=useHTML@
qu.2.13.part.4.showUnits=false@
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qu.2.13.part.4.question=xx@
qu.2.13.part.4.mode=Numeric@
qu.2.13.part.4.grading=toler_abs@
qu.2.13.part.4.negStyle=minus@
qu.2.13.part.4.answer.num=${f}@
qu.2.13.part.5.grader=exact@
qu.2.13.part.5.editing=useHTML@
qu.2.13.part.5.question=(Unset)@
qu.2.13.part.5.answer.3=changing@
qu.2.13.part.5.answer.2=decreasing@
qu.2.13.part.5.answer.1=increasing@
qu.2.13.part.5.mode=List@
qu.2.13.part.5.display=menu@
qu.2.13.part.5.credit.3=0.5@
qu.2.13.part.5.credit.2=0.0@
qu.2.13.part.5.credit.1=1.0@
qu.2.13.part.6.answer.units=@
qu.2.13.part.6.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.2.13.part.6.editing=useHTML@
qu.2.13.part.6.showUnits=false@
qu.2.13.part.6.err=0.005@
qu.2.13.part.6.question=xx@
qu.2.13.part.6.mode=Numeric@
qu.2.13.part.6.grading=toler_abs@
qu.2.13.part.6.negStyle=minus@
qu.2.13.part.6.answer.num=${ftm}@
qu.2.13.question=<p class="noindent">A chemical processes a reagent whose mass, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
 </math>
mg, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math>
hours after the reaction takes place is given by
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>Q</mi>
 <mo>=</mo>
 <mi>f</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Find
<br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${t}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><1><br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${t}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><2>
.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>(Give your answers correct to 2 decimal places.)
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>This means that <3> hours after the reaction began, the quantity of reagent is <4>   mg and the quantity
is <5>at a rate of <6>   mg per hour. </p>@

qu.2.14.mode=Inline@
qu.2.14.name=4.2.2.12@
qu.2.14.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b2}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>@
qu.2.14.editing=useHTML@
qu.2.14.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>+</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.2.14.solution=@
qu.2.14.algorithm=$a=switch(rint(3),"A","B","C","F");
$b=switch(rint(3),"A","B","C","F");
$b2=2 $b;
$c1=switch(rint(3),"A","B","C","F");
$c=if(eq($a,$b),"K",$c1);@
qu.2.14.uid=8936fd67-2e42-4581-8018-ccce10025a65@
qu.2.14.weighting=1@
qu.2.14.numbering=alpha@
qu.2.14.part.1.editing=useHTML@
qu.2.14.part.1.question=(Unset)@
qu.2.14.part.1.answer=$a*e^x-$b2*x@
qu.2.14.part.1.mode=Formula@
qu.2.14.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.topic=4.2.3 The product rule@

qu.3.1.mode=Inline@
qu.3.1.name=4.2.3.2@
qu.3.1.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the
product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sin</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>@
qu.3.1.editing=useHTML@
qu.3.1.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.1.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.1.solution=@
qu.3.1.algorithm=$n=int(rint(4)+2);
$n1=int($n-1);
$ans= $n*x^($n1)*cos(x)-x^($n)*sin(x);@
qu.3.1.uid=b4d2ae94-23fb-407e-b679-3d00fe3ed462@
qu.3.1.weighting=1@
qu.3.1.numbering=alpha@
qu.3.1.part.1.editing=useHTML@
qu.3.1.part.1.question=xx@
qu.3.1.part.1.answer=${ans}@
qu.3.1.part.1.mode=Formula@
qu.3.1.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.3.2.mode=Inline@
qu.3.2.name=4.2.3.11@
qu.3.2.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>H</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>${w}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>@
qu.3.2.editing=useHTML@
qu.3.2.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.2.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating

gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.2.solution=@
qu.3.2.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$w=switch(rint(3),"w","2","Z","k");@
qu.3.2.uid=8c70c188-51d7-4230-8922-fc78d6cc6e4d@
qu.3.2.weighting=1@
qu.3.2.numbering=alpha@
qu.3.2.part.1.editing=useHTML@
qu.3.2.part.1.question=(Unset)@
qu.3.2.part.1.answer=$a*e^($a*t)*sin($w*t)+$w*e^($a*t)*cos($w*t)@
qu.3.2.part.1.mode=Formula@
qu.3.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>H</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.3.mode=Inline@
qu.3.3.name=4.2.3.9@
qu.3.3.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>W</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is
the product of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> so
we use the <span class="cmbx-12">product rule</span> to get
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>W</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>r</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>r</mi>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.3.editing=useHTML@
qu.3.3.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.3.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.3.solution=@
qu.3.3.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$ans=2*r*cos($a*r)-$a*r^2*sin($a*r);@
qu.3.3.uid=7e8dcc31-395c-49c5-be11-3222847738ad@
qu.3.3.weighting=1@
qu.3.3.numbering=alpha@
qu.3.3.part.1.editing=useHTML@
qu.3.3.part.1.question=xx@
qu.3.3.part.1.answer=${ans}@
qu.3.3.part.1.mode=Formula@
qu.3.3.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>W</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.4.mode=Inline@
qu.3.4.name=4.2.3.4@
qu.3.4.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the
product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">Differentiating with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>,
we have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${n}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
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      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.4.editing=useHTML@
qu.3.4.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.4.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.4.solution=@
qu.3.4.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$an=int($a*$n);
$ans=$n*x^( $n1 )*sin(x)+ x^($n)*cos(x);@
qu.3.4.uid=37158afa-ee02-469a-9479-00a4a2343a7f@
qu.3.4.weighting=1@
qu.3.4.numbering=alpha@
qu.3.4.part.1.editing=useHTML@
qu.3.4.part.1.question=xx@
qu.3.4.part.1.answer=${ans}@
qu.3.4.part.1.mode=Formula@
qu.3.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.3.5.mode=Inline@
qu.3.5.name=4.2.3.3@
qu.3.5.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the
product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">Differentiating with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>,
we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>${n}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${an}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mn>${an}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n1}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.5.editing=useHTML@
qu.3.5.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are

differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.5.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.5.solution=@
qu.3.5.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$n=int(rint(4)+2);
$n1=int($n-1);
$an=int($a*$n);@
qu.3.5.uid=88fa62ff-12e6-4ef4-b086-c543b14d7796@
qu.3.5.weighting=1@
qu.3.5.numbering=alpha@
qu.3.5.part.1.editing=useHTML@
qu.3.5.part.1.question=(Unset)@
qu.3.5.part.1.answer=($an*x^($n1) +$a*x^($n))*e^x@
qu.3.5.part.1.mode=Formula@
qu.3.5.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.3.6.mode=Inline@
qu.3.6.name=4.2.3.5@
qu.3.6.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the
product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">Differentiating with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>,
we have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
    <mo>&#8290;</mo>
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    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
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     </mrow>
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    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
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      <mrow>
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        <mi>x</mi>
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      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
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    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
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   <mtd>
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   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
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      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
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      <mrow>
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      </mrow>
      <mo>+</mo>
      <mo>&#8290;</mo>
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       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
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      </mrow>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.6.editing=useHTML@
qu.3.6.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   </mrow>
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  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
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  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
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 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.6.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.6.solution=@
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$n=int(rint(4)+2);
$n1=int($n-1);
$an=int($a*$n);@
qu.3.6.uid=abdb9987-c412-47ce-b257-bddf2bcc4bff@
qu.3.6.weighting=1@
qu.3.6.numbering=alpha@
qu.3.6.part.1.editing=useHTML@
qu.3.6.part.1.question=(Unset)@
qu.3.6.part.1.answer=$a*e^x*(cos(x)+ sin(x))@
qu.3.6.part.1.mode=Formula@
qu.3.6.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
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  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.3.7.mode=Inline@
qu.3.7.name=4.2.3.1@
qu.3.7.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the

product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>. </p>@
qu.3.7.editing=useHTML@
qu.3.7.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.7.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.7.solution=@
qu.3.7.algorithm=$a=int(rint(5)+2);@
qu.3.7.uid=8b373746-6a25-49fc-9399-51e4ecad63b8@
qu.3.7.weighting=1@
qu.3.7.numbering=alpha@
qu.3.7.part.1.editing=useHTML@
qu.3.7.part.1.question=(Unset)@
qu.3.7.part.1.answer=e^($a*x)(1+ $a*x)@
qu.3.7.part.1.mode=Formula@
qu.3.7.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.8.mode=Inline@
qu.3.8.name=4.2.3.7@
qu.3.8.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product rule</span> gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
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    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
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  </msup>
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   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>+</mo>
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   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
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  <mrow>
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   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.8.editing=useHTML@
qu.3.8.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> are
differentiable functions then
</p>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.8.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
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  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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so
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qu.3.8.weighting=1@
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qu.3.8.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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</p>
<p class="noindent">
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  <mo>=</mo>
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</p>
<p class="noindent">
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  </mfenced>
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  </msup>
  <msup>
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.9.editing=useHTML@
qu.3.9.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
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 <mstyle displaystyle="true">
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.9.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
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 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
  <msup>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
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  <mo> cos</mo>
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  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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so
</p>
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<p class="nopar"/>@
qu.3.9.solution=@
qu.3.9.algorithm=$a=int(rint(5)+3);@
qu.3.9.uid=17dda29c-45f2-4576-a294-866f0628ac1b@
qu.3.9.weighting=1@
qu.3.9.numbering=alpha@
qu.3.9.part.1.editing=useHTML@
qu.3.9.part.1.question=(Unset)@
qu.3.9.part.1.answer=$a*t^2*e^($a*t)+2*t*e^($a*t)@
qu.3.9.part.1.mode=Formula@
qu.3.9.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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</p>
<p class="noindent">
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    <mi>y</mi>
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    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
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  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.10.mode=Inline@
qu.3.10.name=4.2.3.6@
qu.3.10.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product rule</span> gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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    </mfrac>
   </mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
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  </msup>
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  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.10.editing=useHTML@
qu.3.10.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
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  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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   </mrow>
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  </mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.10.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
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 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo> cos</mo>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.10.solution=@
qu.3.10.algorithm=$n=int(rint(5)+2);
$n1=int($n-1);
$ans=$n*r^($n1)*ln(r)+r^($n1);@
qu.3.10.uid=e302818c-aab9-4b96-b4eb-8052d5206f1d@
qu.3.10.weighting=1@
qu.3.10.numbering=alpha@
qu.3.10.part.1.editing=useHTML@
qu.3.10.part.1.question=xx@
qu.3.10.part.1.answer=${ans}@
qu.3.10.part.1.mode=Formula@
qu.3.10.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.3.11.mode=Inline@
qu.3.11.name=4.2.3.10@
qu.3.11.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product rule</span> gives
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>${w}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.3.11.editing=useHTML@
qu.3.11.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
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  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.11.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math> is the product
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>.</mo>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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  <mo>&#8290;</mo>
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  <mi>x</mi>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
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     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
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   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
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  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>&minus;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>x</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.3.11.solution=@
qu.3.11.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$w=switch(rint(3),"w","2","Z","k");
$ans=$a*e^($a*t)*sin($w*t)+$w*e^($a*t)*cos($w*t);@
qu.3.11.uid=41bde000-596f-41f8-80de-1d50a4f6a031@
qu.3.11.weighting=1@
qu.3.11.numbering=alpha@
qu.3.11.part.1.editing=useHTML@
qu.3.11.part.1.question=xx@
qu.3.11.part.1.answer=${ans}@
qu.3.11.part.1.mode=Formula@
qu.3.11.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
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    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${w}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.4.topic=4.2.4: The quotient rule@

qu.4.1.mode=Inline@
qu.4.1.name=4.2.4.1@
qu.4.1.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>K</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
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    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
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       </mrow>
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       <mi>x</mi>
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       <mrow>
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        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
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          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>+</mo>
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       <mn>${a}</mn>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
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           <mo>+</mo>
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          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
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       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
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   </mtd>
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  <mtr>
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   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.1.editing=useHTML@
qu.4.1.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
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  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
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     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
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     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.1.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
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     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
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so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.1.solution=@
qu.4.1.algorithm=$a=int(rint(5)+1);
$b=int(rint(5)+1);
$b2=int(2*$b);
$ans=(x^2+$b2*x-$a)/($b+x)^2;@
qu.4.1.uid=fef6a0e3-c5a3-455d-9d0b-b4e30a8bb548@
qu.4.1.weighting=1@
qu.4.1.numbering=alpha@
qu.4.1.part.1.editing=useHTML@
qu.4.1.part.1.question=xx@
qu.4.1.part.1.answer=${ans}@
qu.4.1.part.1.mode=Formula@
qu.4.1.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>K</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>K</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.2.mode=Inline@
qu.4.2.name=4.2.4.10@
qu.4.2.comment=<p class="noindent">Using the <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>f</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>+</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>&minus;</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <mn>${n2}</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${n}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
       </mfenced>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>&minus;</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.2.editing=useHTML@
qu.4.2.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.2.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.2.solution=@
qu.4.2.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$n2=int($n+1);
$ans=x^($n1)*($n2-$n*ln(x))/(1-ln(x))^2;@
qu.4.2.uid=22887e65-621c-43fb-9ca0-37fdd18277b0@
qu.4.2.weighting=1@
qu.4.2.numbering=alpha@
qu.4.2.part.1.editing=useHTML@
qu.4.2.part.1.question=xx@
qu.4.2.part.1.answer=${ans}@
qu.4.2.part.1.mode=Formula@
qu.4.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.3.mode=Inline@
qu.4.3.name=4.2.4.5@
qu.4.3.comment=<p class="noindent">Using the <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>f</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
         <mo>+</mo>
         <mn>${n}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
       </mfenced>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.3.editing=useHTML@
qu.4.3.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
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     </mrow>
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      <mi>d</mi>
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    </mfrac>
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    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
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     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.3.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
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      <mi>x</mi>
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     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
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       <mrow>
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       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
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    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
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    <mo>&minus;</mo>
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    <mo>&sdot;</mo>
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   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.3.solution=@
qu.4.3.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$ans=x^($n1)*($n1+$n*ln(x))/(1+ln(x))^2;@
qu.4.3.uid=56ed04c9-e0c9-47e2-a5c2-06ae7e0f2124@
qu.4.3.weighting=1@
qu.4.3.numbering=alpha@
qu.4.3.part.1.editing=useHTML@
qu.4.3.part.1.question=xx@
qu.4.3.part.1.answer=${ans}@
qu.4.3.part.1.mode=Formula@
qu.4.3.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   <mo stretchy="false">)</mo>
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  <mo>=</mo>
  <mfrac>
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    <msup>
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    </msup>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.4.mode=Inline@
qu.4.4.name=4.2.4.4@
qu.4.4.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
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       <mi>d</mi>
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      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
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       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>z</mi>
         <mo>+</mo>
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        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
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       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>z</mi>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&sdot;</mo>
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      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
           <mo>+</mo>
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          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
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      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
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          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.4.editing=useHTML@
qu.4.4.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
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   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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    <mfrac>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
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    <mfrac>
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     <mrow>
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     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.4.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.4.solution=@
qu.4.4.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$ans=2*$a/(z+$a)^2;@
qu.4.4.uid=cc43b0ac-86ae-4b53-ab2a-aa14a54a06ec@
qu.4.4.weighting=1@
qu.4.4.numbering=alpha@
qu.4.4.part.1.editing=useHTML@
qu.4.4.part.1.question=xx@
qu.4.4.part.1.answer=${ans}@
qu.4.4.part.1.mode=Formula@
qu.4.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.5.mode=Inline@
qu.4.5.name=4.2.4.6@
qu.4.5.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>Q</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${b}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mn>2</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
           <mo>+</mo>
           <mn>${b}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>+</mo>
       <mn>${b2}</mn>
       <mi>x</mi>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>${b}</mn>
           <mo>+</mo>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.5.editing=useHTML@
qu.4.5.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.5.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.5.solution=@
qu.4.5.algorithm=$a=switch(rint(5),"A","L","a","s","p");
$b=int(rint(5)+1);
$b2=int(2*$b);
$ans=(x^2+$b2*x-$a)/($b+x)^2;@
qu.4.5.uid=65d3c306-d4f1-4c99-89e9-74ecb253f0b7@
qu.4.5.weighting=1@
qu.4.5.numbering=alpha@
qu.4.5.part.1.editing=useHTML@
qu.4.5.part.1.question=xx@
qu.4.5.part.1.answer=${ans}@
qu.4.5.part.1.mode=Formula@
qu.4.5.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.6.mode=Inline@
qu.4.6.name=4.2.4.9@
qu.4.6.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>f</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>z</mi>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>1</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>z</mi>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
           <mo>&minus;</mo>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>2</mn>
       <mo>&sdot;</mo>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
           <mo>&minus;</mo>
           <mn>${a}</mn>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
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    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.6.editing=useHTML@
qu.4.6.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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 <mstyle displaystyle="true">
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 </mstyle>
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</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.6.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
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  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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so
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    </mfrac>
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  </mrow>
 </mfenced>
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 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
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</p>
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qu.4.7.comment=<p class="noindent"/>
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<p class="nopar"/>@
qu.4.7.editing=useHTML@
qu.4.7.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> are
differentiable functions then
</p>
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 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.7.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
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 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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so

</p>
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       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.7.solution=@
qu.4.7.algorithm=$a=int(3*rint(4)+1);
$ans=3*z^(1/2)/2-$a/2*z^(-3/2);@
qu.4.7.uid=6d79d058-e4d8-4f24-9013-74bb627e94e8@
qu.4.7.weighting=1@
qu.4.7.numbering=alpha@
qu.4.7.part.1.editing=useHTML@
qu.4.7.part.1.question=xx@
qu.4.7.part.1.answer=${ans}@
qu.4.7.part.1.mode=Formula@
qu.4.7.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.4.8.mode=Inline@
qu.4.8.name=4.2.4.8@
qu.4.8.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>f</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <msup>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
          <mrow>
           <mn>2</mn>
          </mrow>
         </msup>
         <mo>+</mo>
         <mn>${a}</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <msqrt>
          <mrow>
           <mi>z</mi>
          </mrow>
         </msqrt>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>z</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mfrac>
         <mrow>
          <mn>3</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>z</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mo>&minus;</mo>
        <mfrac>
         <mrow>
          <mn>1</mn>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </mfrac>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>3</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mo>&minus;</mo>
      <mfrac>
       <mrow>
        <mn>3</mn>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </mfrac>
     </mrow>
    </msup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.8.editing=useHTML@
qu.4.8.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.8.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.8.solution=@
qu.4.8.algorithm=$a=int(3*rint(7)+1);
$ans=3*z^(1/2)/2-$a/2*z^(-3/2);@
qu.4.8.uid=58ab2f26-86ca-4f3e-b4c7-1248ed6af988@
qu.4.8.weighting=1@
qu.4.8.numbering=alpha@
qu.4.8.part.1.editing=useHTML@
qu.4.8.part.1.question=xx@
qu.4.8.part.1.answer=${ans}@
qu.4.8.part.1.mode=Formula@
qu.4.8.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.4.9.mode=Inline@
qu.4.9.name=4.2.4.2@
qu.4.9.comment=<p class="noindent">Using the <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>f</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
         <mo>+</mo>
         <mn>${n}</mn>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>x</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
       </mfenced>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.9.editing=useHTML@
qu.4.9.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.9.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.9.solution=@
qu.4.9.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$ans=x^($n1)*($n1+$n*ln(x))/(1+ln(x))^2;@
qu.4.9.uid=846875c5-1ca8-47b4-ba3c-6a00e170f932@
qu.4.9.weighting=1@
qu.4.9.numbering=alpha@
qu.4.9.part.1.editing=useHTML@
qu.4.9.part.1.question=xx@
qu.4.9.part.1.answer=${ans}@
qu.4.9.part.1.mode=Formula@
qu.4.9.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
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    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.4.10.mode=Inline@
qu.4.10.name=4.2.4.7@
qu.4.10.comment=<p class="noindent">Using the <span class="cmbx-12">quotient rule</span> gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>g</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>t</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>t</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
         <mo>+</mo>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mo> ln</mo>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>t</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>t</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
           <mo>&#8290;</mo>
           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>t</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>t</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mfenced separators="" open="(" close=")">
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
         <mo>+</mo>
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         <mo>&#8290;</mo>
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          <mrow>
           <mi>t</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
       </mfenced>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1</mn>
           <mo>+</mo>
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           <mo> ln</mo>
           <mrow>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow>
             <mi>t</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false">)</mo>
           </mrow>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.10.editing=useHTML@
qu.4.10.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>d</mi>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.10.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> is the quotient
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> Differentiating
gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <msup>
         <mrow>
          <mi>x</mi>
         </mrow>
         <mrow>
          <mn>2</mn>
         </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.4.10.solution=@
qu.4.10.algorithm=$n=int(rint(4)+3);
$n1=int($n-1);
$ans=t^($n1)*($n1+$n*ln(t))/(1+ln(t))^2;@
qu.4.10.uid=0fc3fbc6-597d-4623-9b7d-73f2a14e4565@
qu.4.10.weighting=1@
qu.4.10.numbering=alpha@
qu.4.10.part.1.editing=useHTML@
qu.4.10.part.1.question=xx@
qu.4.10.part.1.answer=${ans}@
qu.4.10.part.1.mode=Formula@
qu.4.10.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.topic=4.2.5: The chain rule@

qu.5.1.mode=Inline@
qu.5.1.name=4.2.5.6@
qu.5.1.comment=<p class="noindent">To differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msqrt>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msqrt>
 </math> we use
the chain rule with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math> as the
inside function and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msqrt>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </msqrt>
 </math> as the
outside function. Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> we
have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>t</mi>
      <mo>+</mo>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.1.editing=useHTML@
qu.5.1.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.1.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.1.solution=@
qu.5.1.algorithm=$a=int(rint(5)+3);
$b=int(rint(5)+3);
$c=int(rint(8)+1)/10;
$bc=$b*$c;
$ans=$a/(2*sqrt($a*t+$b));@
qu.5.1.uid=9585f8b7-dbed-4ddc-af82-772beedbf1ed@
qu.5.1.weighting=1@
qu.5.1.numbering=alpha@
qu.5.1.part.1.editing=useHTML@
qu.5.1.part.1.question=xx@
qu.5.1.part.1.answer=${ans}@
qu.5.1.part.1.mode=Formula@
qu.5.1.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msqrt>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msqrt>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.5.2.mode=Inline@
qu.5.2.name=4.2.5.10@
qu.5.2.comment=<p class="noindent">We can write <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>s</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>s</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>s</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mi>s</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
      </mrow>
     </msup>
     <mo>+</mo>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${n}</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>s</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>${n1}</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${n2}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>s</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msqrt>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>s</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.2.editing=useHTML@
qu.5.2.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.2.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
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  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mi>x</mi>
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  <mo>=</mo>
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    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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    <mi>d</mi>
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   <mrow>
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  </mfrac>
 </mstyle>
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 <mo>&minus;</mo>
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    <mrow>
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 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
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qu.5.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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</p>
<p class="noindent">
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      </msup>
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    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
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  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
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qu.5.3.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
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<p class="nopar"/>@
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    </msup>
   </mrow>
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  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
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  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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 </mstyle>
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    </mrow>
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  </mrow>
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   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
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 <mo>&sdot;</mo>
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 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
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   <msup>
    <mrow>
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   </msup>
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 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.3.solution=@
qu.5.3.algorithm=$a=int(rint(3)+2);
$b=int(rint(4)+2);
$c=int(12*3*2*$a);
$ans=$c*q($a*q^2-$b)^2 ;@
qu.5.3.uid=41a696df-6c86-4083-9ca0-ab5057beb6c3@
qu.5.3.weighting=1@
qu.5.3.numbering=alpha@
qu.5.3.part.1.editing=useHTML@
qu.5.3.part.1.question=xx@
qu.5.3.part.1.answer=${ans}@
qu.5.3.part.1.mode=Formula@
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      </msup>
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    </mrow>
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</p>
<p class="noindent">
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  <msup>
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    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.4.mode=Inline@
qu.5.4.name=4.2.5.22@
qu.5.4.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
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   </mrow>
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    <msup>
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     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
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  </mfrac>
 </math>
</p>@
qu.5.4.editing=useHTML@
qu.5.4.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> and
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  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
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   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.4.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
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   <mo stretchy="false">(</mo>
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    <msup>
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     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
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  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  </mrow>
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    </mrow>
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   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.4.solution=@
qu.5.4.algorithm=$a=int(rint(7)+2);
$a1=int(2*$a);
$ans=$a1*x/($a*x^2+1);@
qu.5.4.uid=c6fba336-1fd7-43f1-8f8b-c8162d558b06@
qu.5.4.weighting=1@
qu.5.4.numbering=alpha@
qu.5.4.part.1.editing=useHTML@
qu.5.4.part.1.question=xx@
qu.5.4.part.1.answer=${ans}@
qu.5.4.part.1.mode=Formula@
qu.5.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mfenced separators="" open="(" close=")">
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfenced>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.5.mode=Inline@
qu.5.5.name=4.2.5.5@
qu.5.5.comment=<p class="noindent">We have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>100</mn>
  <mi>t</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>0.5</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>f</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${t}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${f}</mn>
 <mtext>&nbsp;mg,</mtext>
</math>
<p class="nopar">
 <br class="newline"/>We use the product rule to find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>:
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>100</mn>
 <mi>t</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>e</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mo>&minus;</mo>
     <mn>0.5</mn>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
   </msup>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mo>&minus;</mo>
     <mn>0.5</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>50</mn>
 <mi>t</mi>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Therefore,
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${t}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>50</mn>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${t}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${t}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${ft}</mn>
 <mtext>&nbsp;mg/hour,</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">This means that ${t} hours after the drug was administered, the quantity of drug in the body is ${f} mg
and the quantity is ${rate} at a rate of ${ftm} mg per hour.</p>@
qu.5.5.editing=useHTML@
qu.5.5.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.5.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.5.solution=@
qu.5.5.algorithm=$t=int(rint(5)+3);
$f=decimal(2,100*$t*e^(-0.5*$t));
$ft=decimal(2,100*e^(-0.5*$t) - 50*$t*e^(-0.5*$t));
$ftm=-$ft;
$rate=if(gt($ft,0),"increasing","decreasing");
$wrongrate=if(gt($ft,0),"decreasing","increasing");@
qu.5.5.uid=a25a7b1d-ca4f-4be0-a734-e799b2847c69@
qu.5.5.weighting=1,1,1,1,1,1@
qu.5.5.numbering=alpha@
qu.5.5.part.1.answer.units=@
qu.5.5.part.1.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.5.5.part.1.editing=useHTML@
qu.5.5.part.1.showUnits=false@
qu.5.5.part.1.err=0.005@
qu.5.5.part.1.question=xx@
qu.5.5.part.1.mode=Numeric@
qu.5.5.part.1.grading=toler_abs@
qu.5.5.part.1.negStyle=minus@
qu.5.5.part.1.answer.num=${f}@
qu.5.5.part.2.answer.units=@
qu.5.5.part.2.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.5.5.part.2.editing=useHTML@
qu.5.5.part.2.showUnits=false@
qu.5.5.part.2.err=0.005@
qu.5.5.part.2.question=xx@
qu.5.5.part.2.mode=Numeric@
qu.5.5.part.2.grading=toler_abs@
qu.5.5.part.2.negStyle=minus@
qu.5.5.part.2.answer.num=${ft}@
qu.5.5.part.3.editing=useHTML@
qu.5.5.part.3.question=xx@
qu.5.5.part.3.answer=${t}@
qu.5.5.part.3.mode=Formula@
qu.5.5.part.4.answer.units=@
qu.5.5.part.4.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.5.5.part.4.editing=useHTML@
qu.5.5.part.4.showUnits=false@
qu.5.5.part.4.err=0.005@
qu.5.5.part.4.question=xx@
qu.5.5.part.4.mode=Numeric@
qu.5.5.part.4.grading=toler_abs@
qu.5.5.part.4.negStyle=minus@
qu.5.5.part.4.answer.num=${f}@
qu.5.5.part.5.grader=exact@
qu.5.5.part.5.editing=useHTML@
qu.5.5.part.5.question=(Unset)@
qu.5.5.part.5.answer.3=changing@
qu.5.5.part.5.answer.2=${wrongrate}@
qu.5.5.part.5.answer.1=${rate}@
qu.5.5.part.5.mode=List@
qu.5.5.part.5.display=menu@
qu.5.5.part.5.credit.3=0.5@
qu.5.5.part.5.credit.2=0.0@
qu.5.5.part.5.credit.1=1.0@
qu.5.5.part.6.answer.units=@
qu.5.5.part.6.numStyle=thousands scientific dollars arithmetic@
qu.5.5.part.6.editing=useHTML@
qu.5.5.part.6.showUnits=false@
qu.5.5.part.6.err=0.005@
qu.5.5.part.6.question=xx@
qu.5.5.part.6.mode=Numeric@
qu.5.5.part.6.grading=toler_abs@
qu.5.5.part.6.negStyle=minus@
qu.5.5.part.6.answer.num=${ftm}@
qu.5.5.question=<p class="noindent">The quantity of a drug, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
 </math>
mg, present in the body <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math>
hours after an injection of the drug is given is
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>Q</mi>
 <mo>=</mo>
 <mi>f</mi>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>100</mn>
 <mi>t</mi>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mn>0.5</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"> Find
<br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${t}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><1><br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${t}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
 </math><2>
.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>(Give your answers correct to 2 decimal places.)
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>This means that <3> hours after the drug was administered, the quantity of drug in the body is <4>   mg
and the quantity is <5>at a rate of <6>   mg per hour. </p>@

qu.5.6.mode=Inline@
qu.5.6.name=4.2.5.7@
qu.5.6.comment=<p class="noindent">Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>, the
derivative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.5.6.editing=useHTML@
qu.5.6.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.6.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.6.solution=@
qu.5.6.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$b=int(rint(5)+1);@
qu.5.6.uid=6b2e3f57-8ca5-4507-bd41-a1f983fa9076@
qu.5.6.weighting=1@
qu.5.6.numbering=alpha@
qu.5.6.part.1.editing=useHTML@
qu.5.6.part.1.question=(Unset)@
qu.5.6.part.1.answer=$a*e^($a*x+$b)@
qu.5.6.part.1.mode=Formula@
qu.5.6.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>${b}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
You may find it to your advantage to simplify the expression before differentiating.
</p>@

qu.5.7.mode=Inline@
qu.5.7.name=4.2.5.18@
qu.5.7.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>w</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math> then by the
<span class="cmbx-12">chain</span> rule, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${r}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.5.7.editing=useHTML@
qu.5.7.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.7.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.7.solution=@
qu.5.7.algorithm=$r=(100+rint(9)+1)/100;@
qu.5.7.uid=daff53f0-1342-458c-acd7-8e3125cf389a@
qu.5.7.weighting=1@
qu.5.7.numbering=alpha@
qu.5.7.part.1.editing=useHTML@
qu.5.7.part.1.question=(Unset)@
qu.5.7.part.1.answer=-$r*e^(-$r*t)@
qu.5.7.part.1.mode=Formula@
qu.5.7.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${r}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.8.mode=Inline@
qu.5.8.name=4.2.5.11@
qu.5.8.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">chain rule</span> gives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a1}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.5.8.editing=useHTML@
qu.5.8.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.8.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.8.solution=@
qu.5.8.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$a1=int(2*$a);
$ans=$a1*x/($a*x^2+1);@
qu.5.8.uid=0450beb7-db86-40b7-b57d-4fb72da654ae@
qu.5.8.weighting=1@
qu.5.8.numbering=alpha@
qu.5.8.part.1.editing=useHTML@
qu.5.8.part.1.question=xx@
qu.5.8.part.1.answer=${ans}@
qu.5.8.part.1.mode=Formula@
qu.5.8.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mfenced separators="" open="(" close=")">
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfenced>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.5.9.mode=Inline@
qu.5.9.name=4.2.5.16@
qu.5.9.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${m}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${nm}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>@
qu.5.9.editing=useHTML@
qu.5.9.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
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   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
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    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
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     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
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 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.9.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
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    <msup>
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     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
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    <mrow>
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      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
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      </mrow>
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     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
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 <mrow>
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   <mi>g</mi>
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    <mrow>
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    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
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 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.9.solution=@
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$m=int(rint(5)+90);
$n1=int($n-1);
$m1=int($m-1);
$nm=int($n*$m);
$ans=$nm* t^($n1)(t^($n)+1)^($m1);@
qu.5.9.uid=4f314fc7-9c58-4eb7-a6e8-5f45d39616a6@
qu.5.9.weighting=1@
qu.5.9.numbering=alpha@
qu.5.9.part.1.editing=useHTML@
qu.5.9.part.1.question=xx@
qu.5.9.part.1.answer=${ans}@
qu.5.9.part.1.mode=Formula@
qu.5.9.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mrow>
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      <msup>
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       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.10.mode=Inline@
qu.5.10.name=4.2.5.12@
qu.5.10.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">chain rule</span> gives
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
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     </mrow>
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    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.5.10.editing=useHTML@
qu.5.10.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
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     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
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  </mrow>
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 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
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 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.10.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
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  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
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 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
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   </mrow>
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  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
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     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
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   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
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    </mrow>
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   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
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    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
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 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.10.solution=@
qu.5.10.algorithm=$a=int(rint(8)+1);@
qu.5.10.uid=45eb19a4-74be-4eb8-ac64-2c316ea536e6@
qu.5.10.weighting=1@
qu.5.10.numbering=alpha@
qu.5.10.part.1.editing=useHTML@
qu.5.10.part.1.question=(Unset)@
qu.5.10.part.1.answer=3*e^t*(e^t+$a)^2@
qu.5.10.part.1.mode=Formula@
qu.5.10.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mfenced separators="" open="(" close=")">
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      <msup>
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       <mrow>
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      </msup>
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     </mrow>
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   <mrow>
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   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
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    <mi>y</mi>
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   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

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qu.5.11.name=4.2.5.17@
qu.5.11.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>s</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>s</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.5.11.editing=useHTML@
qu.5.11.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
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     <mi>g</mi>
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      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
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     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
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  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.11.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
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  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
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      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>

and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.11.solution=@
qu.5.11.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$n=int(rint(5)+3);
$n1=int($n-1);
$ans=$n* s^($n1) /( 2 sqrt(s^($n)+$a));@
qu.5.11.uid=dc92b973-b1a4-4bd5-9669-bc4a1dc26c2a@
qu.5.11.weighting=1@
qu.5.11.numbering=alpha@
qu.5.11.part.1.editing=useHTML@
qu.5.11.part.1.question=xx@
qu.5.11.part.1.answer=${ans}@
qu.5.11.part.1.mode=Formula@
qu.5.11.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <msqrt>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>s</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msqrt>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.12.mode=Inline@
qu.5.12.name=4.2.5.13@
qu.5.12.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">chain rule</span> gives
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a1}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>@
qu.5.12.editing=useHTML@
qu.5.12.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.12.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.12.solution=@
qu.5.12.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$a1=int(2*$a);
$ans=$a1*x/($a*x^2+1)@
qu.5.12.uid=bb08b6fc-feaf-4c69-afb4-57cbc91e8f63@
qu.5.12.weighting=1@
qu.5.12.numbering=alpha@
qu.5.12.part.1.editing=useHTML@
qu.5.12.part.1.question=xx@
qu.5.12.part.1.answer=${ans}@
qu.5.12.part.1.mode=Formula@
qu.5.12.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mfenced separators="" open="(" close=")">
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfenced>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.5.13.mode=Inline@
qu.5.13.name=4.2.5.1@
qu.5.13.comment=<p class="noindent">We use the chain rule with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
as the inside function and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> as
the outside function. Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8725;</mo>
  <mi>z</mi>
 </math> we
have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mo>ln</mo>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
     </msup>
     <mo>+</mo>
     <mn>${b}</mn>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${a}</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>${a1}</mn>
    </mrow>
   </msup>
   <mo>+</mo>
   <mn>${b}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.13.editing=useHTML@
qu.5.13.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.13.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.13.solution=@
qu.5.13.algorithm=$a=int(3+rint(4));
$b=int(2+rint(6));
$a1=int($a-1);
$ans=($a*x^($a1)+$b)/(x^($a)+$b*x);@
qu.5.13.uid=f5371e4c-325a-4974-b2ce-d72ffa4a1501@
qu.5.13.weighting=1@
qu.5.13.numbering=alpha@
qu.5.13.part.1.editing=useHTML@
qu.5.13.part.1.question=xx@
qu.5.13.part.1.answer=${ans}@
qu.5.13.part.1.mode=Formula@
qu.5.13.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.5.14.mode=Inline@
qu.5.14.name=4.2.5.14@
qu.5.14.comment=<p class="noindent">We can write <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>K</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mfrac>
     <mrow>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mrow>
  </msup>
 </math>,
so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>h</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
      </mrow>
     </msup>
     <mo>+</mo>
     <mn>${a}</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mo>&minus;</mo>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msqrt>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>2</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.14.editing=useHTML@
qu.5.14.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.14.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.14.solution=@
qu.5.14.algorithm=$a=int(rint(5)+1);
$b=int(rint(5)+3);
$b2=int(2*$b);
$ans=$b*x/sqrt( $a+x^2);@
qu.5.14.uid=08b6cfbf-e81b-409c-89d8-d450f6dba7b7@
qu.5.14.weighting=1@
qu.5.14.numbering=alpha@
qu.5.14.part.1.editing=useHTML@
qu.5.14.part.1.question=xx@
qu.5.14.part.1.answer=${ans}@
qu.5.14.part.1.mode=Formula@
qu.5.14.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>K</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msqrt>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </msqrt>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>K</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.5.15.mode=Inline@
qu.5.15.name=4.2.5.21@
qu.5.15.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>5</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>@
qu.5.15.editing=useHTML@
qu.5.15.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.15.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.15.solution=@
qu.5.15.algorithm=$a=int(rint(8)+2);
$b=int(5*$a);
$c=switch(rint(3),"A","B","c","z");
$ans=$b/($a*t+$c);@
qu.5.15.uid=d5b009fa-c727-4c9e-8e4b-bf6b7ba8208a@
qu.5.15.weighting=1@
qu.5.15.numbering=alpha@
qu.5.15.part.1.editing=useHTML@
qu.5.15.part.1.question=xx@
qu.5.15.part.1.answer=${ans}@
qu.5.15.part.1.mode=Formula@
qu.5.15.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>5</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.16.mode=Inline@
qu.5.16.name=4.2.5.3@
qu.5.16.comment=<p class="noindent">We use the chain rule with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <mi>r</mi>
 </math>
as the inside function and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> as
the outside function. Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>r</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${r}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> we

have
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${r}</mn>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${r}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.5.16.editing=useHTML@
qu.5.16.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.16.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.16.solution=@
qu.5.16.algorithm=$r=(100+rint(9)+1)/100;
$C=switch(rint(3),"A","B","C","F");@
qu.5.16.uid=79d37e46-762e-4674-905b-fa31e5903177@
qu.5.16.weighting=1@
qu.5.16.numbering=alpha@
qu.5.16.part.1.editing=useHTML@
qu.5.16.part.1.question=(Unset)@
qu.5.16.part.1.answer=-$r*$C*e^(-$r* t)@
qu.5.16.part.1.mode=Formula@
qu.5.16.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${C}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${r}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.5.17.mode=Inline@
qu.5.17.name=4.2.5.20@
qu.5.17.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
</p>@
qu.5.17.editing=useHTML@
qu.5.17.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.17.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.17.solution=@
qu.5.17.algorithm=$a=int(rint(3)+2);
$ans=-1/($a-x) ;@
qu.5.17.uid=c06c9843-a2dd-4143-b1d6-037e3c7365b7@
qu.5.17.weighting=1@
qu.5.17.numbering=alpha@
qu.5.17.part.1.editing=useHTML@
qu.5.17.part.1.question=xx@
qu.5.17.part.1.answer=${ans}@
qu.5.17.part.1.mode=Formula@
qu.5.17.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.18.mode=Inline@
qu.5.18.name=4.2.5.4@
qu.5.18.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is the
sum of two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. The
derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math> with
respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math> is
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
 </math>. To differentiate
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> we use the chain rule
with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math> as the inside
function and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> as the
outside function. Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> we
have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>${b}</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>e</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>${c}</mn>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>${bc}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${c}</mn>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"> so

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>Q</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>=</mo>
 <mn>${a}</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>${bc}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>e</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mn>${c}</mn>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.18.editing=useHTML@
qu.5.18.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.18.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.18.solution=@
qu.5.18.algorithm=$a=int(rint(5)+3);
$b=int(rint(5)+3);
$c=int(rint(8)+1)/10;
$bc=$b*$c;@
qu.5.18.uid=a75db3db-5c86-4967-ae2e-891fe8ce5202@
qu.5.18.weighting=1@
qu.5.18.numbering=alpha@
qu.5.18.part.1.editing=useHTML@
qu.5.18.part.1.question=(Unset)@
qu.5.18.part.1.answer=$a + $bc*e^($c*t)@
qu.5.18.part.1.mode=Formula@
qu.5.18.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>Q</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.5.19.mode=Inline@
qu.5.19.name=4.2.5.9@
qu.5.19.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>3</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>@
qu.5.19.editing=useHTML@
qu.5.19.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.19.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.19.solution=@
qu.5.19.algorithm=$a=int(rint(8)+1);@
qu.5.19.uid=229a545b-4fd2-44f8-bbb7-cb0d7026d732@
qu.5.19.weighting=1@
qu.5.19.numbering=alpha@
qu.5.19.part.1.editing=useHTML@
qu.5.19.part.1.question=(Unset)@
qu.5.19.part.1.answer=3*e^t*(e^t+$a)^2@
qu.5.19.part.1.mode=Formula@
qu.5.19.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>e</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mi>t</mi>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.20.mode=Inline@
qu.5.20.name=4.2.5.8@
qu.5.20.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>u</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">We use the chain rule with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>u</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> as the
inside functions and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> as the outside
function. Differentiating we have <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>e</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> so

that
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>u</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.20.editing=useHTML@
qu.5.20.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.20.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.20.solution=@
qu.5.20.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$b=int(rint(5)+1);@
qu.5.20.uid=e4088254-2a63-44a0-bcff-fc845d707770@
qu.5.20.weighting=1@
qu.5.20.numbering=alpha@
qu.5.20.part.1.editing=useHTML@
qu.5.20.part.1.question=(Unset)@
qu.5.20.part.1.answer=$a*e^($a*x)/(e^($a*x)+$b)@
qu.5.20.part.1.mode=Formula@
qu.5.20.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>e</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.5.21.mode=Inline@
qu.5.21.name=4.2.5.15@
qu.5.21.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>R</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${m}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${nm}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>@
qu.5.21.editing=useHTML@
qu.5.21.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.21.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.21.solution=@
qu.5.21.algorithm=$n=int(rint(5)+3);
$m=int(rint(5)+2);
$n1=int($n-1);
$m1=int($m-1);
$nm=int($n*$m);
$ans=$nm* q^($n1)(q^($n)+1)^($m1)@
qu.5.21.uid=d08160da-fec4-459f-980c-9c0e78d56de5@
qu.5.21.weighting=1@
qu.5.21.numbering=alpha@
qu.5.21.part.1.editing=useHTML@
qu.5.21.part.1.question=xx@
qu.5.21.part.1.answer=${ans}@
qu.5.21.part.1.mode=Formula@
qu.5.21.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>R</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.5.22.mode=Inline@
qu.5.22.name=4.2.5.2@
qu.5.22.comment=<p class="noindent">We use the chain rule with <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
as the inside function and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> as
the outside function. Since <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${m}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> we
have
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>R</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>Q</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${m}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mi>q</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
      </mrow>
     </msup>
     <mo>+</mo>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>${n}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>q</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${nm}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>q</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <msup>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <msup>
      <mrow>
       <mi>q</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${n}</mn>
      </mrow>
     </msup>
     <mo>+</mo>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${m1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.22.editing=useHTML@
qu.5.22.hint.1=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.22.hint.2=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.5.22.solution=@
qu.5.22.algorithm=$n=int(rint(5)+3);
$m=int(rint(5)+2);
$n1=int($n-1);
$m1=int($m-1);
$nm=int($n*$m);
$ans=$nm*q^($n1)(q^($n)+1)^($m1) ;@
qu.5.22.uid=bd730c37-b2d2-4750-a5fd-679b5743646e@
qu.5.22.weighting=1@
qu.5.22.numbering=alpha@
qu.5.22.part.1.editing=useHTML@
qu.5.22.part.1.question=xx@
qu.5.22.part.1.answer=${ans}@
qu.5.22.part.1.mode=Formula@
qu.5.22.question=<p class="noindent">Differentiate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>R</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>q</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>R</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>q</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.topic=4.2.6: The trigonometric functions@

qu.6.1.mode=Inline@
qu.6.1.name=4.2.6.9@
qu.6.1.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product and chain rules</span> give
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${ap}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>@
qu.6.1.editing=useHTML@
qu.6.1.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.1.hint.2=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&sdot;</mo>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mi>g</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>f</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.1.hint.3=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.1.hint.4=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.1.solution=@
qu.6.1.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$a1=int($a-1);
$ap=int($a+1);
$ans=2*x*cos(x^($a))-$a*x^($ap)*sin(x^($a))@
qu.6.1.uid=eec5f537-0c11-443b-aed7-216571074a85@
qu.6.1.weighting=1@
qu.6.1.numbering=alpha@
qu.6.1.part.1.editing=useHTML@
qu.6.1.part.1.question=xx@
qu.6.1.part.1.answer=${ans}@
qu.6.1.part.1.mode=Formula@
qu.6.1.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.6.2.mode=Inline@
qu.6.2.name=4.2.6.4@
qu.6.2.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>w</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${A}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>${B}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>,</mo>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>w</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">chain</span> rule then gives
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>3</mn>
 <mn>${B}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${A}</mn>
   <mo>+</mo>
   <mn>${B}</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.2.editing=useHTML@
qu.6.2.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.

</p>@
qu.6.2.solution=@
qu.6.2.algorithm=$A=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B1=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B=if(eq($A,$B1),"Q",$B1);
$ans=-3*$B*t^2*sin($A+$B*t^3);@
qu.6.2.uid=5f710929-bbcd-47ca-b939-6ac3838a3185@
qu.6.2.weighting=1@
qu.6.2.numbering=alpha@
qu.6.2.part.1.editing=useHTML@
qu.6.2.part.1.question=xx@
qu.6.2.part.1.answer=${ans}@
qu.6.2.part.1.mode=Formula@
qu.6.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${A}</mn>
   <mo>+</mo>
   <mn>${B}</mn>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>t</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.3.mode=Inline@
qu.6.3.name=4.2.6.2@
qu.6.3.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${B}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>${A}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mi>t</mi>
 </math> is the sum
of the constant function, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${B}</mn>
 </math>,
which has derivative zero, and the trigonometric function
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${A}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo>sin</mo>
  <mi>t</mi>
 </math>. To
find its derivative we use the sum rule to get
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${A}</mn>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mi>t</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.3.editing=useHTML@
qu.6.3.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.3.solution=@
qu.6.3.algorithm=$A=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B1=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B=if(eq($A,$B1),"Q",$B1);
$ans=$A*cos(t);@
qu.6.3.uid=cc8956f8-225d-41aa-acdc-f688d4f741e0@
qu.6.3.weighting=1@
qu.6.3.numbering=alpha@
qu.6.3.part.1.editing=useHTML@
qu.6.3.part.1.question=xx@
qu.6.3.part.1.answer=${ans}@
qu.6.3.part.1.mode=Formula@
qu.6.3.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${B}</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>${A}</mn>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mi>t</mi>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.4.mode=Inline@
qu.6.4.name=4.2.6.1@
qu.6.4.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the sum
of the power function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and
the trigonometric function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
so we use the sum rule.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a1}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>t</mi>
 </math>.
</p>@
qu.6.4.editing=useHTML@
qu.6.4.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.4.solution=@
qu.6.4.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int(rint(4)+2);
$a1=int(2*$a);
$ans=$a1*t+$b*cos(t);@
qu.6.4.uid=47055d04-82b3-4baa-9b72-905d7df60b3a@
qu.6.4.weighting=1@
qu.6.4.numbering=alpha@
qu.6.4.part.1.editing=useHTML@
qu.6.4.part.1.question=xx@
qu.6.4.part.1.answer=${ans}@
qu.6.4.part.1.mode=Formula@
qu.6.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>P</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.5.mode=Inline@
qu.6.5.name=4.2.6.5@
qu.6.5.comment=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the
product of the functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> so
we use the product rule.
</p>
<p class="noindent">Differentiating with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>,
we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${n}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
    </mfenced>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>sin</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${n}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>cos</mo>
      <mrow>
       <mo stretchy="false">(</mo>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mo stretchy="false">)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.5.editing=useHTML@
qu.6.5.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.5.solution=@
qu.6.5.algorithm=$a=int(rint(5)+2);
$n=int(rint(4)+2);
$n1=int($n-1);
$an=int($a*$n);
$ans=$n*x^( $n1 )*sin(x)+ x^($n)*cos(x);@
qu.6.5.uid=7d41e1b7-f14c-4f8f-9512-05ae6d2f214c@
qu.6.5.weighting=1@
qu.6.5.numbering=alpha@
qu.6.5.part.1.editing=useHTML@
qu.6.5.part.1.question=xx@
qu.6.5.part.1.answer=${ans}@
qu.6.5.part.1.mode=Formula@
qu.6.5.question=<p class="noindent">Find the derivative of

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.6.mode=Inline@
qu.6.6.name=4.2.6.10@
qu.6.6.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math> so
that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> tan</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
then the <span class="cmbx-12">chain rule</span> gives
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${an}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <msup>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sec</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>@
qu.6.6.editing=useHTML@
qu.6.6.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> tan</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sec</mo>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.6.hint.2=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.6.hint.3=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.6.solution=@
qu.6.6.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$b=int(rint(4)+2);
$n=int(rint(4)+3);
$n1=$n-1;
$an=$a*$n;
$ans=$an*x^($n1)*sec($a*x^($n)+$b)^2;@
qu.6.6.uid=5e6c656d-f4fa-4622-a48d-4462bf9b522f@
qu.6.6.weighting=1@
qu.6.6.numbering=alpha@
qu.6.6.part.1.editing=useHTML@
qu.6.6.part.1.question=xx@
qu.6.6.part.1.answer=${ans}@
qu.6.6.part.1.mode=Formula@
qu.6.6.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> tan</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.6.7.mode=Inline@
qu.6.7.name=4.2.6.3@
qu.6.7.comment=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>w</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${A}</mn>
  <mo>+</mo>
  <mn>${B}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>
then <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>,</mo>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>w</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">chain</span> rule then gives

</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>w</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${B}</mn>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> cos</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${A}</mn>
   <mo>+</mo>
   <mn>${B}</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.7.editing=useHTML@
qu.6.7.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.7.solution=@
qu.6.7.algorithm=$A=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B1=switch(rint(4),"A","B","C","F","G");
$B=if(eq($A,$B1),"Q",$B1);
$ans=$B*cos($A+$B*t);@
qu.6.7.uid=7a146fdf-394d-4f81-ba92-080ccb2d2944@
qu.6.7.weighting=1@
qu.6.7.numbering=alpha@
qu.6.7.part.1.editing=useHTML@
qu.6.7.part.1.question=xx@
qu.6.7.part.1.answer=${ans}@
qu.6.7.part.1.mode=Formula@
qu.6.7.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>P</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${A}</mn>
   <mo>+</mo>
   <mn>${B}</mn>
   <mi>t</mi>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>P</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.6.8.mode=Inline@
qu.6.8.name=4.2.6.6@
qu.6.8.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product and chain rules</span> give
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
</p>@
qu.6.8.editing=useHTML@
qu.6.8.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.8.solution=@
qu.6.8.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$ans=2*x*sin($a*x)+$a*x^2*cos($a*x)@
qu.6.8.uid=bb759cd1-137b-4b73-a172-6cdb3f4754a0@
qu.6.8.weighting=1@
qu.6.8.numbering=alpha@
qu.6.8.part.1.editing=useHTML@
qu.6.8.part.1.question=xx@
qu.6.8.part.1.answer=${ans}@
qu.6.8.part.1.mode=Formula@
qu.6.8.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.6.9.mode=Inline@
qu.6.9.name=4.2.6.8@
qu.6.9.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product and chain rules</span> give
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${n}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n1}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>&minus;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>@
qu.6.9.editing=useHTML@
qu.6.9.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.9.hint.2=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.9.hint.3=<p class="noindent">The function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the composition
of the two functions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mi>x</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
The chain rule gives
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&sdot;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mn>2</mn>
 <mi>x</mi>
 <mo>&#8290;</mo>
 <mo> sin</mo>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.6.9.solution=@
qu.6.9.algorithm=$n=rint(4)+3;
$n1=$n-1;
$ans=$n*x^($n1)*cos(x)-x^($n)*sin(x)@
qu.6.9.uid=90c7603b-e5f4-47df-b373-e59ce4f1e519@
qu.6.9.weighting=1@
qu.6.9.numbering=alpha@
qu.6.9.part.1.editing=useHTML@
qu.6.9.part.1.question=xx@
qu.6.9.part.1.answer=${ans}@
qu.6.9.part.1.mode=Formula@
qu.6.9.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.6.10.mode=Inline@
qu.6.10.name=4.2.6.7@
qu.6.10.comment=<p class="noindent">The <span class="cmbx-12">product and chain rules</span> give
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> cos</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>x</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${ap}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>@
qu.6.10.editing=useHTML@
qu.6.10.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
with respect to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mi>&omega;</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>&omega;</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.6.10.solution=@
qu.6.10.algorithm=$a=int(rint(4)+2);
$a1=int($a-1);
$ap=int($a+1);
$ans=2*x*sin(x^($a))+$a*x^($ap)*cos(x^($a))@
qu.6.10.uid=b1e82ec8-bae2-490c-80ef-4ef5e8c50a31@
qu.6.10.weighting=1@
qu.6.10.numbering=alpha@
qu.6.10.part.1.editing=useHTML@
qu.6.10.part.1.question=xx@
qu.6.10.part.1.answer=${ans}@
qu.6.10.part.1.mode=Formula@
qu.6.10.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>g</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.7.topic=4.2.7: Implicit Differentiation@

qu.7.1.mode=Inline@
qu.7.1.name=4.2.7.6@
qu.7.1.comment=<p class="noindent">Differentiating implicitly we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mn>2</mn>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mi>y</mi>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${c}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${c}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${a2}</mn>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mn>${b}</mn>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.1.editing=useHTML@
qu.7.1.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as

</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.1.solution=@
qu.7.1.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$c=int(2+rint(6));
$a2=int(2*$a);
$b=switch(rint(5),"a","b","f","K","L");@
qu.7.1.uid=573af81f-430c-44a3-8d6f-5edb31f9b202@
qu.7.1.weighting=1@
qu.7.1.numbering=alpha@
qu.7.1.part.1.editing=useHTML@
qu.7.1.part.1.question=xx@
qu.7.1.part.1.answer=(${c}-2*${a}*x)/(2*${b}*y)@
qu.7.1.part.1.mode=Formula@
qu.7.1.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mi>x</mi>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.7.2.mode=Inline@
qu.7.2.name=4.2.7.1@
qu.7.2.comment=<p class="noindent">We differentiate implicitly both sides of the equation with respect to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>.

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>${a}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${a1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${b1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${b1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.2.editing=useHTML@
qu.7.2.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.2.hint.2=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> are
differentiable functions then
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mrow>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mrow>
     <mi>g</mi>
     <mrow>
      <mo stretchy="false">(</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mo stretchy="false">)</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo stretchy="false">)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>&sdot;</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>g</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.2.solution=@
qu.7.2.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$b=int(2+rint(6));
$a1=$a-1;
$b1=$b-1;
$ans=-$a*x^($a1)/($b*y^($b1));@
qu.7.2.uid=cd1b620c-b820-477b-8ff4-404735eb4e21@
qu.7.2.weighting=1@
qu.7.2.numbering=alpha@
qu.7.2.part.1.editing=useHTML@
qu.7.2.part.1.question=xx@
qu.7.2.part.1.answer=${ans}@
qu.7.2.part.1.mode=Formula@
qu.7.2.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${a}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${b}</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${c}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.7.3.mode=Inline@
qu.7.3.name=4.2.7.8@
qu.7.3.comment=<p class="noindent">Differentiating implicitly we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mn>2</mn>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mi>y</mi>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${cn}</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${n1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${cn}</mn>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${n1}</mn>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${a2}</mn>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mn>${b}</mn>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.3.editing=useHTML@
qu.7.3.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.3.solution=@
qu.7.3.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$c=int(2+rint(6));
$n=int(2+rint(6));
$a2=int(2*$a);
$n1=int($n-1);
$cn=int($c*$n);
$b=switch(rint(5),"a","b","f","K","L");
$ans=($cn*x^($n1)-2*$a*x)/(2*$b*y)@
qu.7.3.uid=452b6077-c592-4310-9727-8348864c11e2@
qu.7.3.weighting=1@
qu.7.3.numbering=alpha@
qu.7.3.part.1.editing=useHTML@
qu.7.3.part.1.question=xx@
qu.7.3.part.1.answer=${ans}@
qu.7.3.part.1.mode=Formula@
qu.7.3.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.7.4.mode=Inline@
qu.7.4.name=4.2.7.2@
qu.7.4.comment=<p class="noindent">We differentiate implicitly both sides of the equation with respect to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>${a}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${c}</mn>
 <mtext>&nbsp;,</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
 <mtext>&nbsp;,</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mn>2</mn>
    <msqrt>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </msqrt>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <msqrt>
  <mrow>
   <mstyle displaystyle="true">
    <mfrac>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
    </mfrac>
   </mstyle>
  </mrow>
 </msqrt>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.4.editing=useHTML@
qu.7.4.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.4.solution=@
qu.7.4.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$b=switch(rint(5),"a","b","f","K","L");
$c=int(2+rint(10));
$ans=-$a/$b*sqrt(y/x);@
qu.7.4.uid=2a172190-8a1b-4150-845d-aee955b787ec@
qu.7.4.weighting=1@
qu.7.4.numbering=alpha@
qu.7.4.part.1.editing=useHTML@
qu.7.4.part.1.question=xx@
qu.7.4.part.1.answer=${ans}@
qu.7.4.part.1.mode=Formula@
qu.7.4.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>${a}</mn>
 <msqrt>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </msqrt>
 <mo>+</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <msqrt>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </msqrt>
 <mo>=</mo>
 <mn>${c}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
Write your answer in the form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>A</mi>
  <msqrt>
   <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mo>,</mo>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </msqrt>
 </math>
</p>@

qu.7.5.mode=Inline@
qu.7.5.name=4.2.7.7@
qu.7.5.comment=<p class="noindent">Differentiating implicitly we have

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
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     <mo stretchy="false">(</mo>
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    </mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mi>y</mi>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${c}</mn>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${a2}</mn>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>2</mn>
       <mn>${b}</mn>
       <mi>y</mi>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${c}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.5.editing=useHTML@
qu.7.5.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
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 <mo>+</mo>
 <msup>
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   <mi>y</mi>
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  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
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    <mrow>
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   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
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 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
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  <mrow>
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  </mrow>
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 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
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<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
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  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
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 <mi>y</mi>
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 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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  </mrow>
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  <mrow>
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  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
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 <mo>+</mo>
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 <mstyle displaystyle="true">
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    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
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    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
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     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.5.solution=@
qu.7.5.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$c=int(2+rint(6));
$a2=int(2*$a);
$b=switch(rint(5),"a","b","f","K","L");@
qu.7.5.uid=ef15af54-f642-427f-b5c5-52b7a0e21346@
qu.7.5.weighting=1@
qu.7.5.numbering=alpha@
qu.7.5.part.1.editing=useHTML@
qu.7.5.part.1.question=xx@
qu.7.5.part.1.answer=(-2*${a}*x)/(2*${b}*y-${c})@
qu.7.5.part.1.mode=Formula@
qu.7.5.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
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   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
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  <mo>+</mo>
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  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mi>y</mi>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.7.6.mode=Inline@
qu.7.6.name=4.2.7.3@
qu.7.6.comment=<p class="noindent">Differentiating implicitly we have
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mn>2</mn>
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     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
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     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
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    </mrow>
    <mi>y</mi>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
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   <mtd>
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   </mtd>
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   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
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  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${a}</mn>
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      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${b}</mn>
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      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.6.editing=useHTML@
qu.7.6.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.

</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
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  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
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    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
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 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
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    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
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 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
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   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
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  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.6.solution=@
qu.7.6.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$c=int(2+rint(6));
$b=switch(rint(5),"a","b","f","K","L");@
qu.7.6.uid=86ca0a70-c83e-475f-b3ce-be2d0800dff3@
qu.7.6.weighting=1@
qu.7.6.numbering=alpha@
qu.7.6.part.1.editing=useHTML@
qu.7.6.part.1.question=xx@
qu.7.6.part.1.answer=-${a}*x/(${b}*y)@
qu.7.6.part.1.mode=Formula@
qu.7.6.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.7.7.mode=Inline@
qu.7.7.name=4.2.7.5@
qu.7.7.comment=<p class="noindent">We differentiate implicitly both sides of the equation with respect to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>cos</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi>x</mi>
      <mstyle displaystyle="true">
       <mfrac>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>d</mi>
         <mi>x</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mstyle>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mi>y</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> cos</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> cos</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${a}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${a}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>y</mi>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>x</mi>
         <mi>y</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.7.editing=useHTML@
qu.7.7.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.7.solution=@
qu.7.7.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$b=int(2+rint(6));
$ans=($a-y*cos(x*y))/(x*cos(x*y));@
qu.7.7.uid=37066268-6bf1-414d-a9ec-1662e673488d@
qu.7.7.weighting=1@
qu.7.7.numbering=alpha@
qu.7.7.part.1.editing=useHTML@
qu.7.7.part.1.question=xx@
qu.7.7.part.1.answer=${ans}@
qu.7.7.part.1.mode=Formula@
qu.7.7.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo>sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.</p>@

qu.7.8.mode=Inline@
qu.7.8.name=4.2.7.4@
qu.7.8.comment=<p class="noindent">We differentiate implicitly both sides of the equation with respect to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>.
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> ln</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <msup>
       <mrow>
        <mi>y</mi>
       </mrow>
       <mrow>
        <mn>${a}</mn>
       </mrow>
      </msup>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${b}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo>ln</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> ln</mo>
    <mi>y</mi>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${b}</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>+</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${a}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>0</mn>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>d</mi>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&minus;</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>y</mi>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${a}</mn>
       <mi>x</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.8.editing=useHTML@
qu.7.8.hint.1=<p class="noindent">To differentiate an <span class="cmti-12">implici</span>t function such as
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>3</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>2</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">we think of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
 </math> as
a function of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
 </math>
and apply the <span class="cmti-12">chain rule</span> as follows.
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mi>y</mi>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>3</mn>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </mfenced>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mfenced separators="" open="(" close=")">
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
 </mfenced>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mn>3</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>+</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>2</mn>
  </mrow>
 </msup>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>+</mo>
 <mi>y</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>x</mi>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>0</mn>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">Finally we solve for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
to give
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>3</mn>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>2</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.7.8.solution=@
qu.7.8.algorithm=$a=int(2+rint(6));
$b=int(2+rint(6));
$ans=-y/($a*x);@
qu.7.8.uid=3193ea00-8a99-4d8a-b4a8-c6d4364cbffc@
qu.7.8.weighting=1@
qu.7.8.numbering=alpha@
qu.7.8.part.1.editing=useHTML@
qu.7.8.part.1.question=xx@
qu.7.8.part.1.answer=${ans}@
qu.7.8.part.1.mode=Formula@
qu.7.8.question=<p class="noindent">Find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
given
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo>ln</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>+</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> ln</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${a}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
</p>@

qu.8.topic=4.2.8 Parametric equations@

qu.8.1.mode=Inline@
qu.8.1.name=4.2.8.2@
qu.8.1.comment=<p class="noindent">First we find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mi>t</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${c}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>2</mn>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mi>t</mi>
  <mo>+</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
then
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${b2}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${c}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a2}</mn>
    <mi>t</mi>
    <mo>+</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math> when
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${b2}</mn>
  <mi>t</mi>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </math> which is
when <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${t}</mn>
 </math>.
</p>@
qu.8.1.editing=useHTML@
qu.8.1.hint.1=<p class="noindent">Given that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> we use the we can use
the <span class="cmbx-12">chain</span> rule to find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
as follows.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.8.1.solution=@
qu.8.1.algorithm=$a=int(2+rint(7));
$b=int(2+rint(4));
$b2=int(2*$b);
$a2=int(2*$a);
$t=int(2+rint(3));
$c=int(2+rint(4));
$ansa=(2*$b*t-$c)/(2*$a*t+1);
$ansb=$t;@
qu.8.1.uid=ae2309cc-9f18-4c3f-854a-db53d7d6b9a3@
qu.8.1.weighting=1,1@
qu.8.1.numbering=alpha@
qu.8.1.part.1.editing=useHTML@
qu.8.1.part.1.question=xx@
qu.8.1.part.1.answer=${ansa}@
qu.8.1.part.1.mode=Formula@
qu.8.1.part.2.editing=useHTML@
qu.8.1.part.2.question=xx@
qu.8.1.part.2.answer=${ansb}@
qu.8.1.part.2.mode=Formula@
qu.8.1.question=<p class="noindent">Given the parametric equations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>+</mo>
  <mi>t</mi>
 </math>
find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
Give your answer in terms of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">When is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
  <mo>?</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><2>.
</p>@

qu.8.2.mode=Inline@
qu.8.2.name=4.2.8.5@
qu.8.2.comment=<p class="noindent">First we find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>2</mn>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>
then
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mn>${a}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mo>&minus;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.8.2.editing=useHTML@
qu.8.2.hint.1=<p class="noindent">Given that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> we use the we can use
the <span class="cmbx-12">chain</span> rule to find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
as follows.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
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$b=switch(rint(3),"a","b","c");
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$c=int(2+rint(3));
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qu.8.2.question=<p class="noindent">Given the parametric equations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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Give your answer in terms of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math>.</p>@

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 </math> we use the we can use
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as follows.
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  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.8.3.solution=@
qu.8.3.algorithm=$a=int(2+rint(7));
$b=int(2+rint(4));
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$ans=-$a/$c*tan($b*t);@
qu.8.3.uid=e2759fbb-52f1-420e-9fc8-bc4a2ddf8fa1@
qu.8.3.weighting=1@
qu.8.3.numbering=alpha@
qu.8.3.part.1.editing=useHTML@
qu.8.3.part.1.question=(Unset)@
qu.8.3.part.1.name=sro_id_1@
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qu.8.3.question=<p class="noindent">Given the parametric equations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">  <mi>y</mi>  <mo>=</mo>  <mn>${a}</mn>  <mo>&#8290;</mo>  <mo> cos</mo>  <mrow>   <mo stretchy="false">(</mo>   <mrow>    <mn>${b}</mn>    <mi>t</mi>   </mrow>   <mo stretchy="false">)</mo>  </mrow> </math>and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">  <mi>x</mi>  <mo>=</mo>  <mn>${c}</mn>  <mo>&#8290;</mo>  <mo> sin</mo>  <mrow>   <mo stretchy="false">(</mo>   <mrow>    <mn>${b}</mn>    <mi>t</mi>   </mrow>   <mo stretchy="false">)</mo>  </mrow> </math>find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">  <mfrac>   <mrow>    <mi>d</mi>    <mi>y</mi>   </mrow>   <mrow>    <mi>d</mi>    <mi>x</mi>   </mrow>  </mfrac> </math>.</p><p class="noindent"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">  <mfrac>   <mrow>    <mi>d</mi>    <mi>y</mi>   </mrow>   <mrow>    <mi>d</mi>    <mi>x</mi>   </mrow>  </mfrac>  <mo>=</mo> </math><1>.Give your answer in terms of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">  <mi>t</mi> </math>.</p>@

qu.8.4.mode=Inline@
qu.8.4.name=4.2.8.3@
qu.8.4.comment=<p class="noindent">First we find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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<p class="nopar"/>@
qu.8.4.editing=useHTML@
qu.8.4.hint.1=<p class="noindent">Given that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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 </math> we use the we can use
the <span class="cmbx-12">chain</span> rule to find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
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  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.8.4.solution=@
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$b=int(2+rint(4));
$c=int(2+rint(3));
$ans=(-$a*$b*sin($b*t)+2*t)/($c*$b*cos($b*t)+$a);@
qu.8.4.uid=16fd097b-bea4-441d-96c8-2e0b5082fe77@
qu.8.4.weighting=1@
qu.8.4.numbering=alpha@
qu.8.4.part.1.editing=useHTML@
qu.8.4.part.1.question=xx@
qu.8.4.part.1.answer=${ans}@
qu.8.4.part.1.mode=Formula@
qu.8.4.question=<p class="noindent">Given the parametric equations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
Give your answer in terms of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math>.</p>@

qu.8.5.mode=Inline@
qu.8.5.name=4.2.8.4@
qu.8.5.comment=<p class="noindent">First we find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>2</mn>
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and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
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    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
 </math>
then
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a}</mn>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> sin</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${c}</mn>
    <mo>&sdot;</mo>
    <mn>${b}</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mo> cos</mo>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
      <mi>t</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.8.5.editing=useHTML@
qu.8.5.hint.1=<p class="noindent">Given that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>g</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> we use the we can use
the <span class="cmbx-12">chain</span> rule to find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>
as follows.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>g</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.8.5.solution=@
qu.8.5.algorithm=$a=switch(rint(4),"A","B","C","F");
$b=switch(rint(3),"a","b","c");
;
$c=int(2+rint(3));
$ans=(-$a*$b*sin($b*t)+2*t)/($c*$b*cos($b*t)+$a);@
qu.8.5.uid=1c24cb34-f014-4968-83a8-2ae74dc94a9c@
qu.8.5.weighting=1@
qu.8.5.numbering=alpha@
qu.8.5.part.1.editing=useHTML@
qu.8.5.part.1.question=xx@
qu.8.5.part.1.answer=${ans}@
qu.8.5.part.1.mode=Formula@
qu.8.5.question=<p class="noindent">Given the parametric equations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${c}</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>t</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>+</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mi>t</mi>
 </math>
find <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
 </math><1>.
Give your answer in terms of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>t</mi>
 </math>.</p>@

