qu.1.topic=Section 4.1: Concepts of Differentiation@

qu.1.1.mode=Multipart@
qu.1.1.name=4.1.5@
qu.1.1.comment=@
qu.1.1.editing=useHTML@
qu.1.1.solution=@
qu.1.1.algorithm=$b=int(rint(3)+3);
$x=int(rint(2)+2);
$x1=$x+0.01;
$p=rint(2)+3;
$h=0.001;
$h1="0.001";
$x2=$x+$h;
$f=decimal(6,cos($b*$x));
$f1=decimal(6,cos($b*$x1));
$f2=decimal(6,cos($b*$x2));
$fd1=decimal(6,(cos($b*$x1)-cos($b*$x))/($x1-$x));
$fd1d=decimal(4,$fd1);
$fd2=decimal(6,(cos($b*$x2)-cos($b*$x))/($x2-$x));
$fd2d=decimal(4,$fd2);@
qu.1.1.uid=92536755-30e1-43cf-952f-8a8845ba7d69@
qu.1.1.question=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> cos</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.1.1.weighting=1,1@
qu.1.1.numbering=alpha@
qu.1.1.part.1.extra=@
qu.1.1.part.1.editing=useHTML@
qu.1.1.part.1.question=<p class="noindent">Use an interval of width 0.01 to estimate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
Give your answer to 4 decimal places.
<1></p>@
qu.1.1.part.1.blank.1=%24%7bfd1%7d%3f 0.0005@
qu.1.1.part.1.grader.1=formula@
qu.1.1.part.1.mode=Blanks@
qu.1.1.part.1.comment=<p class="noindent">We use the interval <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math>
to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x1}</mn>
 </math>:
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${x1}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${x}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.01</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.01</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${fd1}</mn>
    <mo>,</mo>
    <mtext>to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.1.part.2.extra=@
qu.1.1.part.2.editing=useHTML@
qu.1.1.part.2.question=<p class="noindent">Now improve your accuracy by estimating <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
again, using a smaller interval of width <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${h1}</mn>
 </math>.<1></p>@
qu.1.1.part.2.blank.1=%24%7bfd2%7d%3f%0a0.0005@
qu.1.1.part.2.grader.1=formula@
qu.1.1.part.2.mode=Blanks@
qu.1.1.part.2.comment=<p class="noindent">For greater accuracy, we can use the smaller interval
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math> to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x2}</mn>
 </math>:
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${x2}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${x}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> cos</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${h}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${h}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${fd2d}</mn>
    <mo>,</mo>
    <mtext>to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.1.2.mode=Inline@
qu.1.2.name=4.1.10@
qu.1.2.comment=<p class="noindent">This is a power function. The derivative of the
function<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mi>a</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>a</mi>
  <mo>&sdot;</mo>
  <mi>n</mi>
  <mo>&sdot;</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>

so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${an}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.2.editing=useHTML@
qu.1.2.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.2.solution=@
qu.1.2.algorithm=$n1=switch(rint(5),2,3,4,5,6,7);
$a=int(rint(5)+3);
$n=int($n1+1);
$an=int($a*$n);
$ans=$an*"x"^($n1);@
qu.1.2.uid=017dead9-0657-4a64-8250-e75fcb48fcac@
qu.1.2.weighting=1@
qu.1.2.numbering=alpha@
qu.1.2.part.1.editing=useHTML@
qu.1.2.part.1.question=xx@
qu.1.2.part.1.answer=${ans}@
qu.1.2.part.1.mode=Formula@
qu.1.2.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.3.mode=Inline@
qu.1.3.name=4.1.9@
qu.1.3.comment=<p class="noindent">This is a power function. The derivative of the function
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> is
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${n}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${n1}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.3.editing=useHTML@
qu.1.3.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.3.solution=@
qu.1.3.algorithm=$n1=switch(rint(5),2,3,4,5,6,7);
$n=int($n1+1);
$ans=$n*"x"^($n1);@
qu.1.3.uid=6f5e3fb5-24f1-48cd-9816-dd0f018f74ce@
qu.1.3.weighting=1@
qu.1.3.numbering=alpha@
qu.1.3.part.1.editing=useHTML@
qu.1.3.part.1.question=xx@
qu.1.3.part.1.answer=${ans}@
qu.1.3.part.1.mode=Formula@
qu.1.3.question=<p class="noindent">Find the derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is
</p>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.4.mode=Inline@
qu.1.4.name=4.1.7@
qu.1.4.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.4.editing=useHTML@
qu.1.4.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.4.solution=@
qu.1.4.algorithm=$b=int(rint(20)+3);@
qu.1.4.uid=2050f7cc-2897-4c95-9788-1d6e7bf5f03f@
qu.1.4.weighting=1@
qu.1.4.numbering=alpha@
qu.1.4.part.1.editing=useHTML@
qu.1.4.part.1.question=xx@
qu.1.4.part.1.answer=${b}@
qu.1.4.part.1.mode=Formula@
qu.1.4.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <mi>x</mi>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.5.mode=Inline@
qu.1.5.name=4.1.8@
qu.1.5.comment=<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mn>${b}</mn>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${bm}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.5.editing=useHTML@
qu.1.5.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.5.solution=@
qu.1.5.algorithm=$b=int(rint(20)+2);
$bm=int($b-1);
$ans=$b*x^($bm);@
qu.1.5.uid=e4632c65-d947-4d89-a6e9-40ad4e3282e8@
qu.1.5.weighting=1@
qu.1.5.numbering=alpha@
qu.1.5.part.1.editing=useHTML@
qu.1.5.part.1.question=xx@
qu.1.5.part.1.answer=${ans}@
qu.1.5.part.1.mode=Formula@
qu.1.5.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mn>${b}</mn>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.6.mode=Multipart@
qu.1.6.name=4.1.3@
qu.1.6.comment=@
qu.1.6.editing=useHTML@
qu.1.6.solution=@
qu.1.6.algorithm=$b=int(rint(3)+3);
$x=int(rint(2)+2);
$x1=$x+0.01;
$p=int(rint(3)+3);
$h=0.001;
$h1="0.001";
$x2=$x+$h;
$f=int($b^($x));
$f1=decimal(4,$b^($x1));
$f2=decimal(4,$b^($x2));
$fd1=decimal(6,($f1-$f)/($x1-$x));
$fd1d=decimal(4,$fd1);
$fd2=decimal(6,($f2-$f)/($x2-$x));
$fd2d=decimal(4,$fd2);@
qu.1.6.uid=da9b223b-9a3b-4a75-aea1-42b78cc3b842@
qu.1.6.question=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>.
</p>@
qu.1.6.weighting=1,1@
qu.1.6.numbering=alpha@
qu.1.6.part.1.extra=@
qu.1.6.part.1.editing=useHTML@
qu.1.6.part.1.question=<p class="noindent">Use an interval of width 0.01 to estimate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
correct to 3 decimal places.
<1></p>@
qu.1.6.part.1.blank.1=%24%7bfd1%7d%3f 0.05@
qu.1.6.part.1.grader.1=formula@
qu.1.6.part.1.mode=Blanks@
qu.1.6.part.1.comment=<p class="noindent">We use the interval <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math>
to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x1}</mn>
 </math>:
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${x}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x1}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${x1}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${x1}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0.01</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${f1}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${f}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>0.01</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mn>${fd1d}</mn>
 <mo>,</mo>
 <mtext>to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.6.part.2.extra=@
qu.1.6.part.2.editing=useHTML@
qu.1.6.part.2.question=<p class="noindent">Now improve your accuracy by estimating <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
again, using an interval of width ${h1}. Give your answer correct to 3 decimal places.
<1></p>@
qu.1.6.part.2.blank.1=%24%7bfd2%7d%3f 0.05@
qu.1.6.part.2.grader.1=formula@
qu.1.6.part.2.mode=Blanks@
qu.1.6.part.2.comment=<p class="noindent">For greater accuracy, we can use the smaller interval
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math> to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x2}</mn>
 </math>:
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mrow>
  <mo stretchy="false">(</mo>
  <mrow>
   <mn>${x}</mn>
  </mrow>
  <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x2}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>&minus;</mo>
    <mi>f</mi>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${x2}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${x2}</mn>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&minus;</mo>
    <msup>
     <mrow>
      <mn>${b}</mn>
     </mrow>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
    </msup>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${h}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${f2}</mn>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${f}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${h}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <mo>&#8776;</mo>
 <mn>${fd2d}</mn>
 <mo>,</mo>
 <mtext>to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.1.7.mode=Inline@
qu.1.7.name=4.1.11@
qu.1.7.comment=<p class="noindent">This is a power function. To differentiate put
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>n</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math> so that
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>. The derivative of
this function is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
so
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <msup>
  <mrow>
   <mi>y</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mi>&prime;</mi>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>=</mo>
 <mstyle displaystyle="true">
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>${n}</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${m}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mstyle>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>${k}</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>${m}</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.7.editing=useHTML@
qu.1.7.hint.1=<p class="noindent">The derivative of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>y</mi>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
is <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mi>n</mi>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.7.solution=@
qu.1.7.algorithm=$n1=switch(rint(2),3,5,7);
$m=int(switch(rint(1),5,7));
$n=int(if(eq($n1,$m),11,$n1));
$k=int($n-$m);
$ans=$n/$m*"x"^($k/$m);@
qu.1.7.uid=8acc92ef-9ad6-4599-97c9-6e3b92b2fb30@
qu.1.7.weighting=1@
qu.1.7.numbering=alpha@
qu.1.7.part.1.editing=useHTML@
qu.1.7.part.1.question=xx@
qu.1.7.part.1.answer=${ans}@
qu.1.7.part.1.mode=Formula@
qu.1.7.question=<p class="noindent">Find the derivative of
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mi>y</mi>
 <mo>=</mo>
 <msup>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
  </mrow>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mrow>
     <mn>${n}</mn>
    </mrow>
    <mrow>
     <mn>${m}</mn>
    </mrow>
   </mfrac>
  </mrow>
 </msup>
 <mo>.</mo>
</math>
<p class="nopar"/>
<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@

qu.1.8.mode=Blanks@
qu.1.8.name=4.1.1@
qu.1.8.comment=<p class="noindent">Using the definition of the derivative:
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mi>k</mi>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo> lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>h</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
       <mo>&minus;</mo>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>h</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mfrac>
        <mrow>
         <mo>&minus;</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mi>k</mi>
           <mo>+</mo>
           <mi>h</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
       </mfrac>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>h</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mo>&minus;</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>k</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
         <mo>+</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&minus;</mo>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>k</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>2</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>=</mo>
    <mo>&minus;</mo>
    <mn>${a2}</mn>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar">
Thus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>k</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a2}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>,
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>k</mi>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${a}</mn>
   </mrow>
  </mfrac>
  <mo>.</mo>
 </math>
</p>@
qu.1.8.editing=useHTML@
qu.1.8.solution=@
qu.1.8.algorithm=$a=int(1+rint(3));
$a2=int($a*$a);
$ans=1/$a;@
qu.1.8.uid=f2a0c0b6-232d-4376-83cb-4ea9598156e4@
qu.1.8.question=<p class="noindent">Find a value <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>k</mi>
  <mo>&gt;</mo>
  <mn>0</mn>
 </math>
such that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>k</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${a2}</mn>
 </math>
for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </mfrac>
 </math>.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>k</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.1.8.blank.1=%24%7bans%7d%3f0.1@
qu.1.8.grader.1=formula@
qu.1.8.extra=@

qu.1.9.mode=Blanks@
qu.1.9.name=4.1.2@
qu.1.9.comment=<p class="noindent">Using the definition of the derivative:
</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
         <mo>+</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>h</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <msub>
     <mrow>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mo>lim</mo>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>h</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
      <mn>0</mn>
     </mrow>
    </msub>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
         <mo>+</mo>
         <mi>h</mi>
        </mrow>
       </msup>
       <mo>&minus;</mo>
       <msup>
        <mrow>
         <mi>b</mi>
        </mrow>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
      <mrow>
       <mi>h</mi>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>=</mo>
    <mn>${fd}</mn>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar">
Use your calculator and small values of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>h</mi>
 </math>
to find that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>b</mi>
  <mo>&#8776;</mo>
  <mn>${b}</mn>
 </math>.
</p>@
qu.1.9.editing=useHTML@
qu.1.9.solution=@
qu.1.9.algorithm=$x=int(2+rint(3));
$b=2.3+rint(20)*0.01;
$fd=decimal(3,$b^($x)*ln($b));@
qu.1.9.uid=dfe32e26-98dc-4d58-866f-8cfa3b58ee9e@
qu.1.9.question=<p class="noindent">If <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>b</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${fd}</mn>
 </math>, find the
value of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>b</mi>
 </math> to
two decimal places.
<br class="newline"/>
 <br class="newline"/>
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>b</mi>
  <mo>=</mo>
 </math><1></p>@
qu.1.9.blank.1=%24%7bb%7d%3f0.05@
qu.1.9.grader.1=formula@
qu.1.9.extra=@

qu.1.10.mode=Multipart@
qu.1.10.name=4.1.4@
qu.1.10.comment=@
qu.1.10.editing=useHTML@
qu.1.10.solution=@
qu.1.10.algorithm=$b=int(rint(3)+3);
$x=int(rint(2)+2);
$x1=$x+0.01;
$p=int(rint(3)+3);
$h=0.001;
$h1="0.001";
$x2=$x+$h;
$f=decimal(6,sin($b*$x));
$f1=decimal(6,sin($b*$x1));
$f2=decimal(6,sin($b*$x2));
$fd1=decimal(6,(sin($b*$x1)-sin($b*$x))/($x1-$x));
$fd1d=decimal(4,$fd1);
$fd2=decimal(6,(sin($b*$x2)-sin($b*$x))/($x2-$x));
$fd2d=decimal(4,$fd2);@
qu.1.10.uid=fb493e0e-20b7-41b5-ba9f-b4d8dd458c09@
qu.1.10.question=<p class="noindent">Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mo> sin</mo>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${b}</mn>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.1.10.weighting=1,1@
qu.1.10.numbering=alpha@
qu.1.10.part.1.extra=@
qu.1.10.part.1.editing=useHTML@
qu.1.10.part.1.question=<p class="noindent">Use an interval of width 0.01 to estimate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
Give your answer to 4 decimal places.
<1></p>@
qu.1.10.part.1.blank.1=%24%7bfd1%7d%3f 0.005@
qu.1.10.part.1.grader.1=formula@
qu.1.10.part.1.mode=Blanks@
qu.1.10.part.1.comment=<p class="noindent">We use the interval <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math>
to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x1}</mn>
 </math>:
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${x1}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${x}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> sin</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.01</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f1}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.01</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${fd1d}</mn>
    <mo>,</mo>
    <mtext>&nbsp;to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@
qu.1.10.part.2.extra=@
qu.1.10.part.2.editing=useHTML@
qu.1.10.part.2.question=<p class="noindent">Now improve your accuracy by estimating <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>${x}</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
again, using a smaller interval of width <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${h1}</mn>
 </math>.
Give your answer to 4 decimal places.
<1></p>@
qu.1.10.part.2.blank.1=%24%7bfd2%7d%3f 0.005@
qu.1.10.part.2.grader.1=formula@
qu.1.10.part.2.mode=Blanks@
qu.1.10.part.2.comment=<p class="noindent">For greater accuracy, we can use the smaller interval
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x}</mn>
 </math> to
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>${x2}</mn>
 </math>:
</p>
<p class="noindent"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <msup>
     <mrow>
      <mi>f</mi>
     </mrow>
     <mrow>
      <mi>&prime;</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mrow>
     <mo stretchy="false">(</mo>
     <mrow>
      <mn>${x}</mn>
     </mrow>
     <mo stretchy="false">)</mo>
    </mrow>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mi>f</mi>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${x2}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${x}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo>sin</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mo>&#8290;</mo>
       <mo> sin</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${b}</mn>
         <mo>&sdot;</mo>
         <mn>${x}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${h}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f2}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mrow>
         <mn>${f}</mn>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">)</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>${h}</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>&#8776;</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mn>${fd2d}</mn>
    <mo>,</mo>
    <mtext>&nbsp;to&nbsp;4&nbsp;decimal&nbsp;places.</mtext>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>@

qu.1.11.mode=Multipart@
qu.1.11.name=4.1.6@
qu.1.11.comment=@
qu.1.11.editing=useHTML@
qu.1.11.solution=@
qu.1.11.algorithm=$a=int(rint(4)+1);
$b=(rint(5)+3)/100;
$p=int(rint(3)+2);
$N=5;
$f0=decimal($N,($a-$b*1^($p)));
$fm=decimal($N,($a-$b*(1-0.001)^($p)));
$fp=decimal($N,($a-$b*(1.001)^($p)));
$fdp=decimal($N,($fp-$f0)/0.001);
$fdm=decimal($N,($f0-$fm)/0.001);
$fd=decimal(2,($fdm+$fdp)/2);@
qu.1.11.uid=b5e2a4c5-7690-4612-9cba-fab0639e37ed@
qu.1.11.question=@
qu.1.11.weighting=1,1@
qu.1.11.numbering=alpha@
qu.1.11.part.1.extra=@
qu.1.11.part.1.editing=useHTML@
qu.1.11.part.1.question=<p class="noindent">Graph the function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${p}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math> and use
your graph to show that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
is <1></p>@
qu.1.11.part.1.blank.1=negative, positive, zero@
qu.1.11.part.1.grader.1=menu@
qu.1.11.part.1.mode=Blanks@
qu.1.11.part.1.comment=<p class="noindent">From the figure below we can see that for <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
the value of the function is decreasing. Therefore, the derivative of
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> at
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> is
negative.
<br class="newline"/>
</p>
<applet code="applets.grapher.Graph" width="250" height="250" codebase="/keele/modules/">
 <param name="y1" value="${a}-${b}*exp(x*ln(${p}))"/>
 <param name="gridLines" value="10"/>
 <param name="xMin" value="-10"/>
 <param name="xMax" value="10"/>
 <param name="yMin" value="-10"/>
 <param name="yMax" value="10"/>
</applet>@
qu.1.11.part.2.editing=useHTML@
qu.1.11.part.2.question=<p class="noindent">Use a small interval to estimate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>.
</p>@
qu.1.11.part.2.answer=
${fd} ? 0.05@
qu.1.11.part.2.mode=Plain Number@
qu.1.11.part.2.comment=<p class="noindent">
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> is the derivative of the
function at <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math> This is
the rate of change of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${a}</mn>
  <mo>&minus;</mo>
  <mn>${b}</mn>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mn>${p}</mn>
   </mrow>
  </msup>
 </math>
at <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1.</mn>
 </math>
We estimate this by computing the average rate of change of
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math> over intervals
near <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>.
</p>
<p class="noindent">Using the intervals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>0.999</mn>
  <mo>&#8804;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8804;</mo>
  <mn>1</mn>
 </math>
and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>1</mn>
  <mo>&#8804;</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8804;</mo>
  <mn>1.001</mn>
 </math>,
we see that

</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mtext>Average&nbsp;rate&nbsp;of&nbsp;change&nbsp;on&nbsp;</mtext>
      <mspace/>
      <mn>0.999</mn>
      <mo>&#8804;</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>&#8804;</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${p}</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">]</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>0.99</mn>
           <msup>
            <mrow>
             <mn>9</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${p}</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">]</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>1</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>0.999</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${f0}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${fm}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.001</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>&#8776;</mo>
    <mn>${fdm}</mn>
    <mo>,</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar"/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
 <mtable columnspacing="0" columnalign="right center left">
  <mtr>
   <mtd>
    <mfenced separators="" open="(" close=")">
     <mrow>
      <mtext>Average&nbsp;rate&nbsp;of&nbsp;change&nbsp;on&nbsp;</mtext>
      <mspace/>
      <mn>1</mn>
      <mo>&#8804;</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>&#8804;</mo>
      <mn>1.001</mn>
     </mrow>
    </mfenced>
   </mtd>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <mn>1.00</mn>
           <msup>
            <mrow>
             <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${p}</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">]</mo>
       </mrow>
       <mo>&minus;</mo>
       <mrow>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mrow>
         <mn>${a}</mn>
         <mo>&minus;</mo>
         <mn>${b}</mn>
         <mrow>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mrow>
           <msup>
            <mrow>
             <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
             <mn>${p}</mn>
            </mrow>
           </msup>
          </mrow>
          <mo stretchy="false">)</mo>
         </mrow>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">]</mo>
       </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>1.001</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>1</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mo>=</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mstyle displaystyle="true">
     <mfrac>
      <mrow>
       <mn>${fp}</mn>
       <mo>&minus;</mo>
       <mn>${f0}</mn>
      </mrow>
      <mrow>
       <mn>0.001</mn>
      </mrow>
     </mfrac>
    </mstyle>
    <mo>&#8776;</mo>
    <mn>${fdp}</mn>
    <mo>.</mo>
   </mtd>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
  <mtr>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd/>
   <mtd>
    <mspace width="1em"/>
   </mtd>
  </mtr>
 </mtable>
</math>
<p class="nopar">
It appears that the rate of change of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>f</mi>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mi>x</mi>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
 </math>
at <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mi>x</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>1</mn>
 </math> is
approximately <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <mn>${fd}</mn>
 </math>,
so we estimate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline">
  <msup>
   <mrow>
    <mi>f</mi>
   </mrow>
   <mrow>
    <mi>&prime;</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mrow>
   <mo stretchy="false">(</mo>
   <mrow>
    <mn>1</mn>
   </mrow>
   <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>${fd}</mn>
 </math>.
</p>@

