mojtaba75

Mojtaba M

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styding mechanical_manufacturing engineering

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These are replies submitted by mojtaba75

@Joe Riel 

@Carl Love 

i think you said right. plus was the problem.

well i upload again and now i think i solve half of my problem(i mean f[0](eta) ).

Project.mw

 

restart;

lambda:=0.5;K[r]:=0.5;Sc:=0.5;Nb:=0.1;Nt:=0.1;Pr:=10;

.5

 

.5

 

.5

 

.1

 

.1

 

10

(1)

EQUATIONS:

equ1:=diff(f(eta),eta$4)-R*(diff(f(eta),eta)*diff(f(eta),eta$2)-f(eta)*diff(f(eta),eta$2))-2*K[r]*diff(g(eta),eta)=0;

equ2:=diff(g(eta),eta$2)-R*(diff(f(eta),eta)*g(eta)-f(eta)*diff(g(eta),eta))+2*K[r]*diff(f(eta),eta)=0;

equ3:=diff(theta(eta),eta$2)+Pr*R*f(eta)*diff(theta(eta),eta)+Nb*diff(phi(eta),eta)*diff(theta(eta),eta)+Nt*diff(theta(eta),eta)^2=0;

equ4:=diff(phi(eta),eta$2)+R*Sc*f(eta)*diff(phi(eta),eta)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb)=0;

diff(diff(diff(diff(f(eta), eta), eta), eta), eta)-R*((diff(f(eta), eta))*(diff(diff(f(eta), eta), eta))-f(eta)*(diff(diff(f(eta), eta), eta)))-1.0*(diff(g(eta), eta)) = 0

 

diff(diff(g(eta), eta), eta)-R*((diff(f(eta), eta))*g(eta)-f(eta)*(diff(g(eta), eta)))+1.0*(diff(f(eta), eta)) = 0

 

diff(diff(theta(eta), eta), eta)+10*R*f(eta)*(diff(theta(eta), eta))+.1*(diff(phi(eta), eta))*(diff(theta(eta), eta))+.1*(diff(theta(eta), eta))^2 = 0

 

diff(diff(phi(eta), eta), eta)+.5*R*f(eta)*(diff(phi(eta), eta))+1.000000000*(diff(diff(theta(eta), eta), eta)) = 0

(2)

BOUNDARY*CONDITIONS:

ics:=
f(0)=0,D(f)(0)=1,g(0)=0,theta(0)=1,phi(0)=1;
f(1)=lambda,D(f)(1)=0,g(1)=0,theta(1)=0,phi(1)=0;

f(0) = 0, (D(f))(0) = 1, g(0) = 0, theta(0) = 1, phi(0) = 1

 

f(1) = .5, (D(f))(1) = 0, g(1) = 0, theta(1) = 0, phi(1) = 0

(3)

HPMs:

hpm1:=(1-p)*(diff(f(eta),eta$4)-2*K[r]*diff(g(eta),eta))+p*(diff(f(eta),eta$4)-R*(diff(f(eta),eta)*diff(f(eta),eta$2)-f(eta)*diff(f(eta),eta$2))-2*K[r]*diff(g(eta),eta))=0;

hpm2:=(1-p)*(diff(g(eta),eta$2)+2*K[r]*diff(f(eta),eta))+p*(diff(g(eta),eta$2)-R*(diff(f(eta),eta)*g(eta)-f(eta)*diff(g(eta),eta))+2*K[r]*diff(f(eta),eta))=0;

hpm3:=(1-p)*(diff(theta(eta),eta$2))+p*(diff(theta(eta),eta$2)+Pr*R*f(eta)*diff(theta(eta),eta)+Nb*diff(phi(eta),eta)*diff(theta(eta),eta)+Nt*diff(theta(eta),eta)^2)=0;

hpm4:=(1-p)*(diff(phi(eta),eta$2)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb))+p*(diff(phi(eta),eta$2)+R*Sc*f(eta)*diff(phi(eta),eta)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb))=0;

(1-p)*(diff(diff(diff(diff(f(eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g(eta), eta)))+p*(diff(diff(diff(diff(f(eta), eta), eta), eta), eta)-R*((diff(f(eta), eta))*(diff(diff(f(eta), eta), eta))-f(eta)*(diff(diff(f(eta), eta), eta)))-1.0*(diff(g(eta), eta))) = 0

 

(1-p)*(diff(diff(g(eta), eta), eta)+1.0*(diff(f(eta), eta)))+p*(diff(diff(g(eta), eta), eta)-R*((diff(f(eta), eta))*g(eta)-f(eta)*(diff(g(eta), eta)))+1.0*(diff(f(eta), eta))) = 0

 

(1-p)*(diff(diff(theta(eta), eta), eta))+p*(diff(diff(theta(eta), eta), eta)+10*R*f(eta)*(diff(theta(eta), eta))+.1*(diff(phi(eta), eta))*(diff(theta(eta), eta))+.1*(diff(theta(eta), eta))^2) = 0

 

(1-p)*(diff(diff(phi(eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(theta(eta), eta), eta)))+p*(diff(diff(phi(eta), eta), eta)+.5*R*f(eta)*(diff(phi(eta), eta))+1.000000000*(diff(diff(theta(eta), eta), eta))) = 0

(4)

f(eta)=sum(f[i](eta)*p^i,i=0..1);

f(eta) = f[0](eta)+f[1](eta)*p

(5)

g(eta)=sum(g[i](eta)*p^i,i=0..1);

g(eta) = g[0](eta)+g[1](eta)*p

(6)

theta(eta)=sum(theta[i](eta)*p^i,i=0..1);

theta(eta) = theta[0](eta)+theta[1](eta)*p

(7)

phi(eta)=sum(phi[i](eta)*p^i,i=0..1);

phi(eta) = phi[0](eta)+phi[1](eta)*p

(8)

FORequ1:

A:=collect(expand(subs(f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,g(eta)=g[0](eta)+g[1](eta)*p,hpm1)),p);

(-1.*R*(diff(f[1](eta), eta))*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta))+R*f[1](eta)*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta)))*p^3+(-1.*R*(diff(f[0](eta), eta))*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta))-1.*R*(diff(f[1](eta), eta))*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta))+R*f[0](eta)*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta))+R*f[1](eta)*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta)))*p^2+(diff(diff(diff(diff(f[1](eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g[1](eta), eta))-1.*R*(diff(f[0](eta), eta))*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta))+R*f[0](eta)*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta)))*p+diff(diff(diff(diff(f[0](eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g[0](eta), eta)) = 0

(9)

A1:=diff(f[0](eta),eta$4)-2*K[r]*(diff(g[0](eta),eta))=0;
A2:=diff(f[1](eta),eta$4)-2*K[r]*(diff(g[1](eta),eta))-R*(diff(f[0](eta),eta))*(diff(f[0](eta),eta$2))+R*f[0](eta)*(diff(f[0](eta),eta$2))=0;

diff(diff(diff(diff(f[0](eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g[0](eta), eta)) = 0

 

diff(diff(diff(diff(f[1](eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g[1](eta), eta))-R*(diff(f[0](eta), eta))*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta))+R*f[0](eta)*(diff(diff(f[0](eta), eta), eta)) = 0

(10)

icsA1:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,g[0](0)=0,f[0](1)=lambda,D(f[0])(1)=0,g[0](1)=0;
icsA2:=f[1](0)=0,D(f[1])(0)=0,g[1](0)=0,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,g[1](1)=0;

f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = .5, (D(f[0]))(1) = 0, g[0](1) = 0

 

f[1](0) = 0, (D(f[1]))(0) = 0, g[1](0) = 0, f[1](1) = 0, (D(f[1]))(1) = 0, g[1](1) = 0

(11)

NULLFORequ2:

B:=collect(expand(subs(f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,g(eta)=g[0](eta)+g[1](eta)*p,hpm2)),p);

(-1.*R*(diff(f[1](eta), eta))*g[1](eta)+R*f[1](eta)*(diff(g[1](eta), eta)))*p^3+(-1.*R*(diff(f[0](eta), eta))*g[1](eta)-1.*R*(diff(f[1](eta), eta))*g[0](eta)+R*f[0](eta)*(diff(g[1](eta), eta))+R*f[1](eta)*(diff(g[0](eta), eta)))*p^2+(diff(diff(g[1](eta), eta), eta)+1.0*(diff(f[1](eta), eta))-1.*R*(diff(f[0](eta), eta))*g[0](eta)+R*f[0](eta)*(diff(g[0](eta), eta)))*p+diff(diff(g[0](eta), eta), eta)+1.0*(diff(f[0](eta), eta)) = 0

(12)

B1:=diff(g[0](eta),eta$2)+2*K[r]*(diff(f[0](eta),eta))=0;
B2:=diff(g[1](eta),eta$2)+2*K[r]*(diff(f[1](eta),eta))-R*(diff(f[0](eta),eta))*g[0](eta)+R*f[0](eta)*(diff(g[0](eta),eta))=0;

diff(diff(g[0](eta), eta), eta)+1.0*(diff(f[0](eta), eta)) = 0

 

diff(diff(g[1](eta), eta), eta)+1.0*(diff(f[1](eta), eta))-R*(diff(f[0](eta), eta))*g[0](eta)+R*f[0](eta)*(diff(g[0](eta), eta)) = 0

(13)

icsB1:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,g[0](0)=0,f[0](1)=lambda,D(f[0])(1)=0,g[0](1)=0;
icsB2:=f[1](0)=0,D(f[1])(0)=0,g[1](0)=0,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,g[1](1)=0;

f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = .5, (D(f[0]))(1) = 0, g[0](1) = 0

 

f[1](0) = 0, (D(f[1]))(0) = 0, g[1](0) = 0, f[1](1) = 0, (D(f[1]))(1) = 0, g[1](1) = 0

(14)

FORequ3:

C:=collect(expand(subs(theta(eta)=theta[0](eta)+theta[1](eta)*p,phi(eta)=phi[0](eta)+phi[1](eta)*p,f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,hpm3)),p);

(10.*R*f[1](eta)*(diff(theta[1](eta), eta))+.1*(diff(phi[1](eta), eta))*(diff(theta[1](eta), eta))+.1*(diff(theta[1](eta), eta))^2)*p^3+(10.*R*f[0](eta)*(diff(theta[1](eta), eta))+10.*R*f[1](eta)*(diff(theta[0](eta), eta))+.1*(diff(phi[0](eta), eta))*(diff(theta[1](eta), eta))+.1*(diff(phi[1](eta), eta))*(diff(theta[0](eta), eta))+.2*(diff(theta[0](eta), eta))*(diff(theta[1](eta), eta)))*p^2+(diff(diff(theta[1](eta), eta), eta)+10.*R*f[0](eta)*(diff(theta[0](eta), eta))+.1*(diff(phi[0](eta), eta))*(diff(theta[0](eta), eta))+.1*(diff(theta[0](eta), eta))^2)*p+diff(diff(theta[0](eta), eta), eta) = 0

(15)

C1:=diff(theta[0](eta),eta$2)=0;
C2:=diff(theta[1](eta), eta, eta)+Pr*R*f[0](eta)*(diff(theta[0](eta), eta))+Nb*(diff(phi[0](eta), eta))*(diff(theta[0](eta), eta))+Nt*(diff(theta[0](eta), eta))^2=0;

diff(diff(theta[0](eta), eta), eta) = 0

 

diff(diff(theta[1](eta), eta), eta)+10*R*f[0](eta)*(diff(theta[0](eta), eta))+.1*(diff(phi[0](eta), eta))*(diff(theta[0](eta), eta))+.1*(diff(theta[0](eta), eta))^2 = 0

(16)

icsC1:=theta[0](0)=1,theta[0](1)=0;
icsC2:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,theta[1](0)=0,theta[1](1)=0,phi[0](0)=0,phi[0](1)=0;

theta[0](0) = 1, theta[0](1) = 0

 

f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, f[1](1) = 0, (D(f[1]))(1) = 0, theta[1](0) = 0, theta[1](1) = 0, phi[0](0) = 0, phi[0](1) = 0

(17)

FORequ4:

E:=collect(expand(subs(theta(eta)=theta[0](eta)+theta[1](eta)*p,phi(eta)=phi[0](eta)+phi[1](eta)*p,f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,hpm4)),p);

.5*R*f[1](eta)*p^3*(diff(phi[1](eta), eta))+(.5*R*f[0](eta)*(diff(phi[1](eta), eta))+.5*R*f[1](eta)*(diff(phi[0](eta), eta)))*p^2+(diff(diff(phi[1](eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(theta[1](eta), eta), eta))+.5*R*f[0](eta)*(diff(phi[0](eta), eta)))*p+diff(diff(phi[0](eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(theta[0](eta), eta), eta)) = 0

(18)

E1:=diff(phi[0](eta),eta$2)+Nt*(diff(theta[0](eta),eta$2))/Nb=0;
E2:=diff(phi[1](eta),eta$2)+Nt*(diff(theta[1](eta),eta$2))/Nb+R*Sc*f[0](eta)*(diff(phi[0](eta),eta))=0;

diff(diff(phi[0](eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(theta[0](eta), eta), eta)) = 0

 

diff(diff(phi[1](eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(theta[1](eta), eta), eta))+.5*R*f[0](eta)*(diff(phi[0](eta), eta)) = 0

(19)

icsE1:=phi[0](0)=1,phi[0](1)=0;
icsE2:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,theta[1](0)=0,theta[1](1)=0,phi[1](0)=0,phi[1](1)=0;

phi[0](0) = 1, phi[0](1) = 0

 

f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, f[1](1) = 0, (D(f[1]))(1) = 0, theta[1](0) = 0, theta[1](1) = 0, phi[1](0) = 0, phi[1](1) = 0

(20)

Solving:
c1:=dsolve({C1,icsC1});

theta[0](eta) = -eta+1

(21)

e1:=subs(c1,E1);

diff(diff(phi[0](eta), eta), eta)+1.000000000*(diff(diff(-eta+1, eta), eta)) = 0

(22)

e11:=dsolve({e1,icsE1});

phi[0](eta) = -eta+1

(23)

A4:=-1.*R*(diff(f[1](eta),eta))*(diff(f[1](eta),eta$2))+R*f[1](eta)*(diff(f[1](eta),eta$2));

-1.*R*(diff(f[1](eta), eta))*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta))+R*f[1](eta)*(diff(diff(f[1](eta), eta), eta))

(24)

icsA4:=f[1](0)=0,D(f[1])(0)=0,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0;

f[1](0) = 0, (D(f[1]))(0) = 0, f[1](1) = 0, (D(f[1]))(1) = 0

(25)

a4:=dsolve({A4,icsA4});

f[1](eta) = 0

(26)

sys1:={A1,B1};

{diff(diff(diff(diff(f[0](eta), eta), eta), eta), eta)-1.0*(diff(g[0](eta), eta)) = 0, diff(diff(g[0](eta), eta), eta)+1.0*(diff(f[0](eta), eta)) = 0}

(27)

evalf[5](dsolve(sys1));

{f[0](eta) = _C2-1.*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-1.*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)+_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta), g[0](eta) = -.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C4*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.70710*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)+.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C1}

(28)

f[0](eta):=_C2-1.*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-1.*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)+_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta);

Dd(f[0])(eta):=diff(f[0](eta),eta);

g[0](eta):=-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C4*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.70710*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)+.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C1;

_C2-1.*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-1.*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)+_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)

 

.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C4*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)+.70710*_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)

 

-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C3*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C4*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.70710*_C4*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)+.70710*_C5*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.70710*_C6*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)+_C1

(29)

evalf[5](simplify(subs(eta=0,f[0](eta))=0));
evalf[5](simplify(subs(eta=1,f[0](eta))=.5));
evalf[5](simplify(subs(eta=0,Dd(f[0])(eta))=1));
evalf[5](simplify(subs(eta=1,Dd(f[0])(eta))=0));
evalf[5](simplify(subs(eta=0,g[0](eta))=0));
evalf[5](simplify(subs(eta=1,g[0](eta))=0));

_C2+_C5+_C6 = 0.

 

_C2-.32031*_C3-1.3175*_C4+.37486*_C5+1.5419*_C6 = .50000

 

-.70710*_C3-.70710*_C4-.70710*_C5+.70710*_C6 = 1.

 

-0.38568e-1*_C3-2.0219*_C4-.49155*_C5+.15864*_C6 = 0.

 

-.70710*_C3-.70710*_C4+.70710*_C5-.70710*_C6+_C1 = 0.

 

-.49155*_C3-.15864*_C4+0.38568e-1*_C5-2.0219*_C6+_C1 = 0.

(30)

__________________________________________________________________________________________________:
sys2:={_C2+_C5+_C6 = 0.,_C2-.32031*_C3-1.3175*_C4+.37486*_C5+1.5419*_C6 = .50000,-.70710*_C3-.70710*_C4-.70710*_C5+.70710*_C6 = 1.,-0.38568e-1*_C3-2.0219*_C4-.49155*_C5+.15864*_C6 = 0.,-.70710*_C3-.70710*_C4+.70710*_C5-.70710*_C6+_C1 = 0.,-.49155*_C3-.15864*_C4+0.38568e-1*_C5-2.0219*_C6+_C1 = 0.};

{_C2+_C5+_C6 = 0., -.70710*_C3-.70710*_C4-.70710*_C5+.70710*_C6 = 1., -0.38568e-1*_C3-2.0219*_C4-.49155*_C5+.15864*_C6 = 0., _C2-.32031*_C3-1.3175*_C4+.37486*_C5+1.5419*_C6 = .50000, -.70710*_C3-.70710*_C4+.70710*_C5-.70710*_C6+_C1 = 0., -.49155*_C3-.15864*_C4+0.38568e-1*_C5-2.0219*_C6+_C1 = 0.}

(31)

solve({_C2+_C5+_C6 = 0., -.70710*_C3-.70710*_C4-.70710*_C5+.70710*_C6 = 1., -0.38568e-1*_C3-2.0219*_C4-.49155*_C5+.15864*_C6 = 0., _C2-.32031*_C3-1.3175*_C4+.37486*_C5+1.5419*_C6 = .50000, -.70710*_C3-.70710*_C4+.70710*_C5-.70710*_C6+_C1 = 0., -.49155*_C3-.15864*_C4+0.38568e-1*_C5-2.0219*_C6+_C1 = 0.}, Explicit = true)

subs(_C1 = 0.4989888530e-1, _C2 = .3333110544, _C3 = -.8345566534, _C4 = .1627272695, _C5 = -.5378543977, _C6 = .2045433433,f[0](eta));

.3333110544+.8345566534*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.1627272695*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.5378543977*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.2045433433*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)

(32)

plot(.3333110544+.8345566534*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.1627272695*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.5378543977*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.2045433433*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta), eta = 0 .. 1)

 

subs(_C1 = 0.4989888530e-1, _C2 = .3333110544, _C3 = -.8345566534, _C4 = .1627272695, _C5 = -.5378543977, _C6 = .2045433433,g[0](eta));

.2097981650*exp(-.70710*eta)*cos(.70710*eta)+.9704318542*exp(-.70710*eta)*sin(.70710*eta)-.2596970503*exp(.70710*eta)*cos(.70710*eta)-0.295681457e-1*exp(.70710*eta)*sin(.70710*eta)+0.4989888530e-1

(33)

 

 

 

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@Joe Riel 

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