Hi, i am trying to solve my PDEs with HPM method ,but i get strange errors.
first one is :Error, (in trig/reduce/reduce) Maple was unable to allocate enough memory to complete this computation. Please see ?alloc,
but when i run my last function again,the error chages,let me show you.
restart;
lambda:=0.5;K[r]:=0.5;Sc:=0.5;Nb:=0.1;Nt:=0.1;Pr:=10;
0.5
0.5
0.5
0.1
0.1
10
> EQUATIONS;
equ1:=diff(f(eta),eta$4)-R*(diff(f(eta),eta)*diff(f(eta),eta$2)-f(eta)*diff(f(eta),eta$2))-2*K[r]*diff(g(eta),eta)=0;
equ2:=diff(g(eta),eta$2)-R*(diff(f(eta),eta)*g(eta)-f(eta)*diff(g(eta),eta))+2*K[r]*diff(f(eta),eta)=0;
equ3:=diff(theta(eta),eta$2)+Pr*R*f(eta)*diff(theta(eta),eta)+Nb*diff(phi(eta),eta)*diff(theta(eta),eta)+Nt*diff(theta(eta),eta)^2=0;
equ4:=diff(phi(eta),eta$2)+R*Sc*f(eta)*diff(phi(eta),eta)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb)=0;
/ d / d / d / d \\\\ // d \ / d
|----- |----- |----- |----- f(eta)|||| - R ||----- f(eta)| |-----
\ deta \ deta \ deta \ deta //// \\ deta / \ deta
/ d \\ / d / d \\\
|----- f(eta)|| - f(eta) |----- |----- f(eta)|||
\ deta // \ deta \ deta ///
/ d \
- 1.0 |----- g(eta)| = 0
\ deta /
/ d / d \\
|----- |----- g(eta)||
\ deta \ deta //
// d \ / d \\
- R ||----- f(eta)| g(eta) - f(eta) |----- g(eta)||
\\ deta / \ deta //
/ d \
+ 1.0 |----- f(eta)| = 0
\ deta /
/ d / d \\ / d \
|----- |----- theta(eta)|| + 10 R f(eta) |----- theta(eta)|
\ deta \ deta // \ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi(eta)| |----- theta(eta)|
\ deta / \ deta /
2
/ d \
+ 0.1 |----- theta(eta)| = 0
\ deta /
/ d / d \\ / d \
|----- |----- phi(eta)|| + 0.5 R f(eta) |----- phi(eta)|
\ deta \ deta // \ deta /
/ d / d \\
+ 1.000000000 |----- |----- theta(eta)|| = 0
\ deta \ deta //
> BOUNDARY*CONDITIONS;
ics:=
f(0)=0,D(f)(0)=1,g(0)=0,theta(0)=1,phi(0)=1;
f(1)=lambda,D(f)(1)=0,g(1)=0,theta(1)=0,phi(1)=0;
f(0) = 0, D(f)(0) = 1, g(0) = 0, theta(0) = 1, phi(0) = 1
f(1) = 0.5, D(f)(1) = 0, g(1) = 0, theta(1) = 0, phi(1) = 0
> HPMs;
hpm1:=(1-p)*(diff(f(eta),eta$4)-2*K[r]*diff(g(eta),eta))+p*(diff(f(eta),eta$4)-R*(diff(f(eta),eta)*diff(f(eta),eta$2)-f(eta)*diff(f(eta),eta$2))-2*K[r]*diff(g(eta),eta))=0;
hpm2:=(1-p)*(diff(g(eta),eta$2)+2*K[r]*diff(f(eta),eta))+p*(diff(g(eta),eta$2)-R*(diff(f(eta),eta)*g(eta)-f(eta)*diff(g(eta),eta))+2*K[r]*diff(f(eta),eta))=0;
hpm3:=(1-p)*(diff(theta(eta),eta$2))+p*(diff(theta(eta),eta$2)+Pr*R*f(eta)*diff(theta(eta),eta)+Nb*diff(phi(eta),eta)*diff(theta(eta),eta)+Nt*diff(theta(eta),eta)^2)=0;
hpm4:=(1-p)*(diff(phi(eta),eta$2)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb))+p*(diff(phi(eta),eta$2)+R*Sc*f(eta)*diff(phi(eta),eta)+diff(theta(eta),eta$2)*(Nt/Nb))=0;
// d / d / d / d \\\\
(1 - p) ||----- |----- |----- |----- f(eta)||||
\\ deta \ deta \ deta \ deta ////
/ d \\ // d / d / d / d \
- 1.0 |----- g(eta)|| + p ||----- |----- |----- |----- f(eta)|
\ deta // \\ deta \ deta \ deta \ deta /
\\\ // d \ / d / d \\
||| - R ||----- f(eta)| |----- |----- f(eta)||
/// \\ deta / \ deta \ deta //
/ d / d \\\ / d \\
- f(eta) |----- |----- f(eta)||| - 1.0 |----- g(eta)|| = 0
\ deta \ deta /// \ deta //
// d / d \\ / d \\ // d
(1 - p) ||----- |----- g(eta)|| + 1.0 |----- f(eta)|| + p ||-----
\\ deta \ deta // \ deta // \\ deta
/ d \\
|----- g(eta)||
\ deta //
// d \ / d \\
- R ||----- f(eta)| g(eta) - f(eta) |----- g(eta)||
\\ deta / \ deta //
/ d \\
+ 1.0 |----- f(eta)|| = 0
\ deta //
/
/ d / d \\ |/ d / d \
(1 - p) |----- |----- theta(eta)|| + p ||----- |----- theta(eta)|
\ deta \ deta // \\ deta \ deta /
\ / d \
| + 10 R f(eta) |----- theta(eta)|
/ \ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi(eta)| |----- theta(eta)|
\ deta / \ deta /
2\
/ d \ |
+ 0.1 |----- theta(eta)| | = 0
\ deta / /
// d / d \\
(1 - p) ||----- |----- phi(eta)||
\\ deta \ deta //
/ d / d \\\ // d / d
+ 1.000000000 |----- |----- theta(eta)||| + p ||----- |-----
\ deta \ deta /// \\ deta \ deta
\\ / d \
phi(eta)|| + 0.5 R f(eta) |----- phi(eta)|
// \ deta /
/ d / d \\\
+ 1.000000000 |----- |----- theta(eta)||| = 0
\ deta \ deta ///
f(eta)=sum(f[i](eta)*p^i,i=0..1);
f(eta) = f[0](eta) + f[1](eta) p
g(eta)=sum(g[i](eta)*p^i,i=0..1);
g(eta) = g[0](eta) + g[1](eta) p
theta(eta)=sum(theta[i](eta)*p^i,i=0..1);
theta(eta) = theta[0](eta) + theta[1](eta) p
phi(eta)=sum(phi[i](eta)*p^i,i=0..1);
phi(eta) = phi[0](eta) + phi[1](eta) p
> FORequ1;
A:=collect(expand(subs(f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,g(eta)=g[0](eta)+g[1](eta)*p,hpm1)),p);
/ / d \ / d / d \\
|-1. R |----- f[1](eta)| |----- |----- f[1](eta)||
\ \ deta / \ deta \ deta //
/ d / d \\\ 3 /
+ R f[1](eta) |----- |----- f[1](eta)||| p + |
\ deta \ deta /// \
/ d \ / d / d \\
-1. R |----- f[0](eta)| |----- |----- f[1](eta)||
\ deta / \ deta \ deta //
/ d \ / d / d \\
- 1. R |----- f[1](eta)| |----- |----- f[0](eta)||
\ deta / \ deta \ deta //
/ d / d \\
+ R f[0](eta) |----- |----- f[1](eta)||
\ deta \ deta //
/ d / d \\\ 2 // d / d /
+ R f[1](eta) |----- |----- f[0](eta)||| p + ||----- |----- |
\ deta \ deta /// \\ deta \ deta \
d / d \\\\ / d \
----- |----- f[1](eta)|||| - 1.0 |----- g[1](eta)|
deta \ deta //// \ deta /
/ d \ / d / d \\
- 1. R |----- f[0](eta)| |----- |----- f[0](eta)||
\ deta / \ deta \ deta //
/ d / d \\\
+ R f[0](eta) |----- |----- f[0](eta)||| p
\ deta \ deta ///
/ d / d / d / d \\\\
+ |----- |----- |----- |----- f[0](eta)||||
\ deta \ deta \ deta \ deta ////
/ d \
- 1.0 |----- g[0](eta)| = 0
\ deta /
A1:=diff(f[0](eta),eta$4)-2*K[r]*(diff(g[0](eta),eta))=0;
A2:=diff(f[1](eta),eta$4)-2*K[r]*(diff(g[1](eta),eta))-R*(diff(f[0](eta),eta))*(diff(f[0](eta),eta$2))+R*f[0](eta)*(diff(f[0](eta),eta$2))=0;
/ d / d / d / d \\\\ / d \
|----- |----- |----- |----- f[0](eta)|||| - 1.0 |----- g[0](eta)| =
\ deta \ deta \ deta \ deta //// \ deta /
0
/ d / d / d / d \\\\ / d \
|----- |----- |----- |----- f[1](eta)|||| - 1.0 |----- g[1](eta)|
\ deta \ deta \ deta \ deta //// \ deta /
/ d \ / d / d \\
- R |----- f[0](eta)| |----- |----- f[0](eta)||
\ deta / \ deta \ deta //
/ d / d \\
+ R f[0](eta) |----- |----- f[0](eta)|| = 0
\ deta \ deta //
icsA1:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,g[0](0)=0,f[0](1)=lambda,D(f[0])(1)=0,g[0](1)=0;
icsA2:=f[1](0)=0,D(f[1])(0)=0,g[1](0)=0,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,g[1](1)=0;
f[0](0) = 0, D(f[0])(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = 0.5,
D(f[0])(1) = 0, g[0](1) = 0
f[1](0) = 0, D(f[1])(0) = 0, g[1](0) = 0, f[1](1) = 0,
D(f[1])(1) = 0, g[1](1) = 0
>
FORequ2;
B:=collect(expand(subs(f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,g(eta)=g[0](eta)+g[1](eta)*p,hpm2)),p);
/ / d \
|-1. R |----- f[1](eta)| g[1](eta)
\ \ deta /
/ d \\ 3 /
+ R f[1](eta) |----- g[1](eta)|| p + |
\ deta // \
/ d \
-1. R |----- f[0](eta)| g[1](eta)
\ deta /
/ d \
- 1. R |----- f[1](eta)| g[0](eta)
\ deta /
/ d \
+ R f[0](eta) |----- g[1](eta)|
\ deta /
/ d \\ 2 // d / d
+ R f[1](eta) |----- g[0](eta)|| p + ||----- |----- g[1](eta)
\ deta // \\ deta \ deta
\\ / d \ / d \
|| + 1.0 |----- f[1](eta)| - 1. R |----- f[0](eta)| g[0](eta)
// \ deta / \ deta /
/ d \\ / d / d \\
+ R f[0](eta) |----- g[0](eta)|| p + |----- |----- g[0](eta)||
\ deta // \ deta \ deta //
/ d \
+ 1.0 |----- f[0](eta)| = 0
\ deta /
B1:=diff(g[0](eta),eta$2)+2*K[r]*(diff(f[0](eta),eta))=0;
B2:=diff(g[1](eta),eta$2)+2*K[r]*(diff(f[1](eta),eta))-R*(diff(f[0](eta),eta))*g[0](eta)+R*f[0](eta)*(diff(g[0](eta),eta))=0;
/ d / d \\ / d \
|----- |----- g[0](eta)|| + 1.0 |----- f[0](eta)| = 0
\ deta \ deta // \ deta /
/ d / d \\ / d \
|----- |----- g[1](eta)|| + 1.0 |----- f[1](eta)|
\ deta \ deta // \ deta /
/ d \
- R |----- f[0](eta)| g[0](eta)
\ deta /
/ d \
+ R f[0](eta) |----- g[0](eta)| = 0
\ deta /
icsB1:=f[0](0)=0,D(f[0])(0)=1,g[0](0)=0,f[0](1)=lambda,D(f[0])(1)=0,g[0](1)=0;
icsB2:=f[1](0)=0,D(f[1])(0)=0,g[1](0)=0,f[1](1)=0,D(f[1])(1)=0,g[1](1)=0;
f[0](0) = 0, D(f[0])(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = 0.5,
D(f[0])(1) = 0, g[0](1) = 0
f[1](0) = 0, D(f[1])(0) = 0, g[1](0) = 0, f[1](1) = 0,
D(f[1])(1) = 0, g[1](1) = 0
> FORequ3;
C:=collect(expand(subs(theta(eta)=theta[0](eta)+theta[1](eta)*p,phi(eta)=phi[0](eta)+phi[1](eta)*p,f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,hpm3)),p);
/
| / d \
|10. R f[1](eta) |----- theta[1](eta)|
\ \ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi[1](eta)| |----- theta[1](eta)|
\ deta / \ deta /
2\
/ d \ | 3 / / d
+ 0.1 |----- theta[1](eta)| | p + |10. R f[0](eta) |-----
\ deta / / \ \ deta
\ / d \
theta[1](eta)| + 10. R f[1](eta) |----- theta[0](eta)|
/ \ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi[0](eta)| |----- theta[1](eta)|
\ deta / \ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi[1](eta)| |----- theta[0](eta)|
\ deta / \ deta /
/
/ d \ / d \\ 2 |/
+ 0.2 |----- theta[0](eta)| |----- theta[1](eta)|| p + ||
\ deta / \ deta // \\
d / d \\
----- |----- theta[1](eta)||
deta \ deta //
/ d \
+ 10. R f[0](eta) |----- theta[0](eta)|
\ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi[0](eta)| |----- theta[0](eta)|
\ deta / \ deta /
2\
/ d \ |
+ 0.1 |----- theta[0](eta)| | p
\ deta / /
/ d / d \\
+ |----- |----- theta[0](eta)|| = 0
\ deta \ deta //
C1:=diff(theta[0](eta),eta$2)=0;
C2:=diff(theta[1](eta), eta, eta)+Pr*R*f[0](eta)*(diff(theta[0](eta), eta))+Nb*(diff(phi[0](eta), eta))*(diff(theta[0](eta), eta))+Nt*(diff(theta[0](eta), eta))^2=0;
d / d \
----- |----- theta[0](eta)| = 0
deta \ deta /
/ d / d \\
|----- |----- theta[1](eta)||
\ deta \ deta //
/ d \
+ 10 R f[0](eta) |----- theta[0](eta)|
\ deta /
/ d \ / d \
+ 0.1 |----- phi[0](eta)| |----- theta[0](eta)|
\ deta / \ deta /
2
/ d \
+ 0.1 |----- theta[0](eta)| = 0
\ deta /
icsC1:=theta[0](0)=1,theta[0](1)=0;
icsC2:=theta[1](0)=0,theta[1](1)=0,phi[0](0)=0,phi[0](1)=0;
theta[0](0) = 1, theta[0](1) = 0
theta[1](0) = 0, theta[1](1) = 0, phi[0](0) = 0, phi[0](1) = 0
> FORequ4;
E:=collect(expand(subs(theta(eta)=theta[0](eta)+theta[1](eta)*p,phi(eta)=phi[0](eta)+phi[1](eta)*p,f(eta)=f[0](eta)+f[1](eta)*p,hpm4)),p);
3 / d \ / / d
0.5 R f[1](eta) p |----- phi[1](eta)| + |0.5 R f[0](eta) |-----
\ deta / \ \ deta
\ / d \\ 2 //
phi[1](eta)| + 0.5 R f[1](eta) |----- phi[0](eta)|| p + ||
/ \ deta // \\
d / d \\
----- |----- phi[1](eta)||
deta \ deta //
/ d / d \\
+ 1.000000000 |----- |----- theta[1](eta)||
\ deta \ deta //
/ d \\
+ 0.5 R f[0](eta) |----- phi[0](eta)|| p
\ deta //
/ d / d \\
+ |----- |----- phi[0](eta)||
\ deta \ deta //
/ d / d \\
+ 1.000000000 |----- |----- theta[0](eta)|| = 0
\ deta \ deta //
E1:=diff(phi[0](eta),eta$2)+Nt*(diff(theta[0](eta),eta$2))/Nb=0;
E2:=diff(phi[1](eta),eta$2)+Nt*(diff(theta[1](eta),eta$2))/Nb+R*Sc*f[0](eta)*(diff(phi[0](eta),eta))=0;
/ d / d \\
|----- |----- phi[0](eta)||
\ deta \ deta //
/ d / d \\
+ 1.000000000 |----- |----- theta[0](eta)|| = 0
\ deta \ deta //
/ d / d \\
|----- |----- phi[1](eta)||
\ deta \ deta //
/ d / d \\
+ 1.000000000 |----- |----- theta[1](eta)||
\ deta \ deta //
/ d \
+ 0.5 R f[0](eta) |----- phi[0](eta)| = 0
\ deta /
icsE1:=theta[0](0)=1,theta[0](1)=0,phi[0](0)=1,phi[0](1)=0;
icsE2:=theta[1](0)=0,theta[1](1)=0,phi[1](0)=0,phi[1](1)=0;
theta[0](0) = 1, theta[0](1) = 0, phi[0](0) = 1, phi[0](1) = 0
theta[1](0) = 0, theta[1](1) = 0, phi[1](0) = 0, phi[1](1) = 0
theta[0](eta) = -(152675527/100000000)*eta+1;
152675527
theta[0](eta) = - --------- eta + 1
100000000
U:=f[1](eta)=0;
f[1](eta) = 0
Dsolve(A1,B1,icsA1,icsB1);
Dsolve(A1, B1, icsA1, icsB1)
sys:={ diff(g[0](eta), eta, eta)+1.0*(diff(f[0](eta), eta)) = 0, diff(f[0](eta), eta, eta, eta, eta)-1.0*(diff(g[0](eta), eta)) = 0};
// d / d / d / d \\\\
{ |----- |----- |----- |----- f[0](eta)||||
\\ deta \ deta \ deta \ deta ////
/ d \
- 1.0 |----- g[0](eta)| = 0,
\ deta /
/ d / d \\ / d \ \
|----- |----- g[0](eta)|| + 1.0 |----- f[0](eta)| = 0 }
\ deta \ deta // \ deta / /
IC_1:={ f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = .5, (D(f[0]))(1) = 0, g[0](1) = 0,f[0](0) = 0, (D(f[0]))(0) = 1, g[0](0) = 0, f[0](1) = .5, (D(f[0]))(1) = 0, g[0](1) = 0};
{f[0](0) = 0, f[0](1) = 0.5, g[0](0) = 0, g[0](1) = 0,
D(f[0])(0) = 1, D(f[0])(1) = 0}
ans1 := combine(dsolve(sys union IC_1,{f[0](eta),g[0](eta)}),trig);
Error, (in dsolve) expecting an ODE or a set or list of ODEs. Received `union`(IC_1, sys)
>
